Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Откуда

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

2. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оце­нивается углом закручивания:

.

Здесь φ — угол закручивания; γ— угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R = d/2. Откуда

Рис. 27.4

Закон Гука имеет вид τ_к = Gγ. Подставим выражение для γ , получим

Откуда

Произведение GJ_p называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 10⁵ МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ_о.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

где φ_о — относительный угол закручивания, φ_о= φ /l;

. [φ_о ] = 1град / м = 0,02 рад / м — допускаемый относительный угол закручивания.

ЛЕКЦИЯ 29

Тема 2.6. Изгиб. Классификация видов изгиба. Внутренние силовые факторы при изгибе

Иметь представление о видах изгиба и внутренних силовых факторах.

Знать методы для определения внутренних силовых факторов и уметь ими пользоваться для определения внутренних силовых факторов при прямом изгибе.

Основные определения

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в по­перечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор —изгибающий момент. Брус , работающий на

и згиб, называют балкой.

Изображен брус, за­крепленный справа (за-щемление), нагруженный внешними силами и мо­ментом (рис. 29.1).

Плоскость, в которой расположены внешние си­лы и моменты, называют силовой плоскостью.Если все силы лежат в одной плоскости, изгиб называют плоским. Плоскость, проходящая через продольную ось бру­са и одну из главных цен­тральных осей его попе­речного сечения, называ­ется главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называют прямым (рис. 29.1).

Если силовая плоскость не проходит через главную плоскость бруса, изгиб называют косым изгибом (рис. 29.2).

Рис. 29.1

Рис. 29.2

Внутренние силовые факторы при изгибе

Пример 1. Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения вну­тренних силовых факторов пользуемся методом сечений.

Рассмотрим равновесие участка 1 (рис. 29.36).

Под действием внешней пары сил участок стремится развер­нуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сече­нии 1, удерживают участок в равновесии.

Продольные силы упругости выше оси бруса направлены направо, а силы ниже оси направлены налево. Таким образом, при равновесии участка 1 получим: ΣF_Z = 0. Продоль-ная сила N в сечении равна нулю. Момент сил упругости относительно оси Ох может быть получен, если суммировать элементарные моменты сил упругости в

сечении 1- 1 относительно оси Ох:

Этот момент называют изгибающим моментом М_х — М_И.

Рис 29.3

Из схемы вала на рис. 29.3 б видно, что часть волокон (выше оси) испытывают сжатие, а волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в сечении должен существовать слой не растянутый и не сжатый, где напряжения σ равны нулю.

Такой слой называют нейтральным слоем (НС). Линия пересе­чения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называют нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой совпадает с осью Ох.

Практически величина изгибающего момента в сечении опреде­ляется из уравнения равновесия:

Σ m _{x 1-1} = т — М_x1 = 0; М_x1 = т.

Таким образом, в сечении 1-1 продольная сила равна нулю, из­гибающий момент в сечении постоянен.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает толь­ко изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка бруса от свободного конца до сечения 2 (рис. 29.Зв).

Запишем уравнения равновесия для участка бруса:

ΣF_y = 0; - F + Q₂ = 0; Q₂ = F = const.

В сечении бруса 2-2 действует поперечная сила, вызывающая сдвиг.

Σm_x2-2 = 0; т - F(z₂ - а) – М_x2 = 0.

Изгибающий момент в сечении: М_x2 = m - F(z₂ - a);

z₂ — расстояние от сечения 2 до начала координат.

Изгибающий момент зависит от расстояния сечения до начала координат.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает изги­бающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

Принятые в машиностроении знаки поперечных сил и

изгибающих моментов

П оперечная сила в сече­нии считается положитель­ной, если она стремится раз­вернуть сечение по часовойстрелке (рис. 29.4а), если против, — отрицательной(рис. 29.46).

Знаки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изги­бающий момент считается положи­тельным (рис. 29.5а), если наоборот —

отрицательным (рис. 29.5 б).

Рис. 29.4

Выводы

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент, постоянный по величине.

При поперечном изгибе в сечении возникает изгибающий мо­мент и поперечная сила.

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних Рис. 29.5

сил, прило­женных к отсеченной части, относительно рассматриваемого се­чения.

Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченной части на соответствующую ось.

Пример 2. На балку действует пара сил с моментом m и рас­пределенная нагрузка интенсивностью q. Балка защемлена справа (рис. 29.6).

Рис. 29.6

Рассечем балку на участке 1 на расстоянии z₁ от левого края. Рассмотрим равновесие отсеченной части. Из уравнения ΣM_х1 = 0 получим:

т — М_x1 = 0; M_x1 = m = const.

Участок 1 — участок чистого изгиба.

Рассечем балку на участке 2 на расстоянии z₂ > а от края, z₂ — расстояние сечения от начала координат.

Из уравнения ΣF_y = 0 найдем поперечную силу Q₂ . Заменя­ем распределенную нагрузку на рассматриваемом участке равнодей­ствующей силой q(z₂ — а).

ΣF_y = - q(z₂ — а) + Q₂ = 0; Q₂ = q(z₂ — а)

Из уравнения моментов определяем изгибающий момент в сече­нии:

На втором участке возникает поперечный изгиб.

Выводы

При действии распределенной нагрузки возникает поперечная сила, линейно зависящая от координаты сечения.

Изгибающий момент на участке с распределенной нагрузкой меняется в зависимости от координаты сечения по параболиче­скому закону.

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерно распределенной нагрузки (теорема Журав-ского):

Поперечная сила равна производной от изгибающего момента по длине балки:

Интенсивность "равномерно распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы по длине балки:

Из выше указанного следует:

если М_и = const, то Q = 0; если Q = const; то q = 0.

Лекция№ 30

Расчет прочности при деформации изгиба.

Кратко напомним, что при растяжении или сжатии возникает внутренний силовой фактор — продольная сила, при сдвиге — поперечная сила, а при кручении — крутящий момент в плоскости поперечного сечения.

Изгиб отличается от рассмотренных видов нагружения тем, что в этом случае появляются два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q, как при сдвиге, и изгибающий момент М (рис. 101). Рассмотрим изгиб, при котором плоскость изгибающей нагрузки совпадает с одной из главных осей инерции по-

Рис. 101. Схема изгиба Рис. 102. Чистый изгиб бруса

перечного сечения. Такой изгиб иногда называется прямым, а чаще просто изгибом. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Частный вид изгиба, при котором поперечная сила равна нулю, называется чистым изгибом (рис. 102). В этом случае в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент М. В отличие от него изгиб, при котором поперечная сила не равна нулю, называется поперечным изгибом (см. рис. 101).

Изгиб относится к простому виду нагружения, несмотря на то, что при изгибе балки возникают два внутренних силовых фактора Q и М.

Однако, как покажет дальнейшее рассмотрение изгиба, определяющим внутренним силовым фактором при изгибе является единственный внутренний силовой, фактор — изгибающий момент. Влиянием перерезывающей силы при изгибе балки можно пренебречь.

Внутренние силовые факторы при изгибе Q и М определяются методом сечений (см. рис. 101). Рассмотрим условия равновесия отсеченной части балки. Проекция всех сил на ось у равна нулю:

Q — F = 0; Q = F.

Момент относительно сечения I всех сил равен нулю

М + F_x = 0, М = — Fx.

Поперечная сила Q в сечении I равна действующей на отсеченную часть внешней силе F, а изгибающий момент М равен моменту внешней силы относительно рассматриваемого сечения.

Теперь рассмотрим действие нескольких внешних сил на балку (рис. 103). В дальнейшем будем изображать балку

в виде прямой линии — геометрического места центров тяжести поперечных сечений балки. Определим внутренние силовые факторы в произвольном

сечении I Для этого рассечем балку по сечению I , приложим в этом сечении неизвестные внутренние силовые факторы при изгибе Q и М и составим уравнение равновесия для отсеченной части балки:

Σ F_y = 0 , ΣМ = 0

Сумма всех сил на ось х тождественно равна нулю, поскольку продольные силы на балку не действуют. В дальнейшем рассматриваем только два приведенных уравнения равновесия, индекс «y» не указываем. Из первого уравнения следует

ΣF = -F_x + F₂ + Q_l = 0,

откуда определяем поперечную силу

Рис. 103 Определение сечении I

внутренних силовых Q₁= F₁ – F₂.