Тема 1.8. Кинематика точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об ускорении при прямолинейном и криволинейном движениях, о раз­личных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равно­переменного движений точки. Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.

Анализ видов и кинетических параметров движений

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоро­стью:

v = const.

Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Полное ускорение движения точ-

ки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномер­ном движении (рис. 10.16)

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = а_п.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как v = const закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой:

S = S₀ + vt ,

где Sо — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным ка­сательным ускорением:

a_t = const.

Для прямолинейного равнопеременного движения

Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 10.2):

Учитывая, что

и сделав ряд преобразований:

получим значение скорости при равнопеременном движении

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

где v₀ — начальная скорость движения;

Sо — путь, пройденный до начала отсчета;

a_t — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f(t³) и выше степени.

Кинематические графики

Кинематические графики — это графики изменения пути, ско­рости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рис. 10.3)

Равнопеременное движение (рис. 10.4)

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания ее движения

Если движение точки задано в координатной форме, то каждое параметрическое уравнений , взятое отдельно, описывает движение не самой точки, а ее проекции вдоль соответствующих осей. Пусть движение точки А в плоской системе координат задано уравнениями

х =f₁ (t) и у =f₂ (t).

Первое из уравнений определяет закон изменения абсциссы х движущейся точки (рис. 1.118), т. е. описывает движе­ние по оси абсцисс точки А_х — проекции точки А на ось х. Второе уравнение определяет закон изменения ординаты у точки А, т. е. описывает движение по оси ординат ее проекции А_у на эту ось. Допустим, что в данный момент времени t точка А имеет скорость v , тогда А_х и А у — проекции точки на оси х и у—движутся по осям со скоростями v_х и v_у, модули которых равны проекциям скорости v на соответст­вующие оси (рис. 10.5). Следовательно, дифферен­цируя каждое из заданных уравнений, найдем модули скоростей v_x и v_у или, иначе говоря, проекции скорости v на оси координат.

Итак,

v_x = dx/dt =f'(t) и v_y = dy/dt = f'(t). (1.100)

Рис 10.5

Если из начала и конца вектора v провести прямые, параллельные осям координат, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой v и кате­тами v_х и v_y . Отсюда модуль искомой скорости

(1.101)

Направление скорости v, т. е. углы α_х или α_у , находим по одной из следующих формул:

Аналогично определяется и вектор ускорения а. Сначала находим его проекции на оси х и у:

а_х = dv_x/dt =f"(t) и а_у = dv_у /dt =f"(t), (1.105)

а затем модуль

(1.106)

и направление, т. е. углы β_х и β_y (угол β_у на рис. 1.118 не обозначен):

От координатного способа задания движения точки нетрудно перейти к естественному способу. Ранее мы рассмотрели , что, исключив время из уравнений движения х =f₁ (t),

у =f₂ (t), получаем уравнение тра­ектории Ф (х, у) = 0. Уравнение движения S =f(t) по этой траектории получаем следующим образом. Так как v = dS / dt то dS = v dt; подставив сюда значение полученное из уравнений движения в

осях координат, и проинтегрировав:

(1.108)

получим уравнения движения вида S =f(t).

Например, если движение точки задано уравне­ниями х = 3t² и у = 4t², то точка движется по прямолинейной траектории, уравнение которой 4x – 3y = 0.

Из заданных уравнений движения следует, что проекции скорости на оси координат

V_X = 6t V_у = 8t ,

а модуль скорости в любой момент времени

Из уравнения (1.108)

Таким образом, точка движется прямолинейно по траектории 4х— 3y = 0 согласно уравнению S = 5t².

ЛЕКЦИЯ 11