6.3. Построение числовой экономико-математической модели.

За основные переменные примем площади посева сельскохозяйственных культур по их целевому назначению, естественных сенокосов и пастбищ, поголовье животных по видам, а также количество молока и обрата, необходимых для выпойки телят и поросят. Дополнительные переменные характеризуют направления использования и реализации продукции. Вспомогательные переменные представлены в модели трудовыми ресурсами, товарной продукцией и материально- денежными затратами.

При определении состава переменных, включаемых в модель, учитывались как технологические особенности возделывания отдельных сельскохозяйственных культур и содержания животных, так и производственное и коммерческое использование получаемой продукции. Так, каждая сельскохозяйственная культура и вид продукции обозначены столькими переменными, сколько существует различных видов и направлений ее использования и реализации. Обозначим через

х1 - площадь посева озимой пшеницы на товарные цели;

х2 - площадь посева озимой пшеницы на фураж;

х3 - площадь посева озимой ржи на товарные цели;

х4 - площадь посева яровой пшеницы на товарные цели;

х5 - площадь посева яровой пшеницы на фураж;

х6 - площадь посева ячменя на товарные цели;

х7 - площадь посева ячменя на фураж;

х8 - площадь посева овса на фураж;

х9 - площадь посева проса на товарные цели;

х10 - площадь посева подсолнечника;

х11 - площадь посева озимых на зеленый корм;

х12 - площадь посадки картофеля;

х13 - площадь посадки овощей;

х14 - площадь посева однолетних трав на сено;

х15 - площадь посева однолетних трав на зеленый корм;

х16 - площадь посева многолетних трав на сено;

х17 - площадь посева многолетних трав на сенаж;

х18 - площадь посева многолетних трав на зеленый корм;

х19 - площадь посева кукурузы на силос;

х20 - площадь посева кукурузы на зеленый корм;

х21 - площадь чистого пара;

х22 - площадь естественных сенокосов;

х23 - площадь естественных пастбищ;

х24 - молоко на корм;

х25 - обрат;

х26 - поголовье коров;

х27 - поголовье свиней;

х28 - поголовье лошадей;

х29 - количество реализованной пшеницы по договору контрактации;

х30 - количество пшеницы, реализованной на рынке;

х31 - количество реализованной пшеницы по бартеру;

х32 - количество реализованной пшеницы в виде натуральной оплаты;

х33 - количество пшеницы, переработанной в муку;

х34 - количество пшеницы, переработанной в манку;

х35 - количество реализованной ржи по договору контрактации;

х36 - количество реализованной ржи по бартеру;

х37 - количество реализованной ржи на рынке;

х38 - количество реализованного ячменя по договору контрактации;

х39 - количество реализованного ячменя по бартеру;

х40 - количество реализованного ячменя в виде натуральной оплаты;

х41 - количество реализованного ячменя на рынке;

х42 - количество реализованного проса по договору контрактации;

х43 - количество переработанного проса в пшено;

х44 - количество реализованного подсолнечника по договору контрактации;

х45 - количество реализованного подсолнечника на рынке;

х46 - количество подсолнечника, переработанного в масло;

х47 - количество реализованного подсолнечника по бартеру;

х48 - количество реализованной муки на рынке;

х49 - количество реализованной муки по бартеру;

х50 - количество реализованной муки в виде натуральной оплаты;

х51 - количество муки, переработанной в вермишель;

х52 - количество реализованной муки на внутрихозяйственные цели;

х53 - количество реализованной манки на рынке;

х54 - количество реализованной манки по бартеру;

х55 - количество реализованной манки на внутрихозяйственные цели;

х56 - количество реализованного подсолнечного масла на рынке;

х57 - количество реализованного подсолнечного масла в виде натуральной

оплаты;

х58 - количество реализованного подсолнечного масла по бартеру;

х59 - количество подсолнечного масла, реализованного на внутрихозяйственные цели;

х60 - количество пшена, реализованного на внутрихозяйственные цели;

х61 - количество пшена, реализованного по бартеру;

х62 - количество вермишели, реализованной на внутрихозяйственные цели;

х63 - товарная продукция;

х64 - трудовые ресурсы - всего;

х65 - трудовые ресурсы в напряженный период;

х66 - материально-денежные затраты;

По переменным, обозначающим площади посева сельскохозяйственных культур, естественных сенокосов и пастбищ, единицами измерения являются гектары. Единицами измерения по переменным, выражающим объем животноводства, приняты: по крупному рогатому скоту - поголовье структурных голов, по свиноводству - поголовье основных свиноматок, по рабочему скоту - головы. По переменным, связанным с определением потребности животноводства в молоке и обрате, единицами измерения будут центнеры кормовых единиц. По дополнительным переменным, характеризующим переработку и реализацию сельскохозяйственной продукции, единицами измерения будут центнеры продукции. По вспомогательным переменным и - тыс. рублей, и - чел-час.

Вся разработанная информация сводится в развернутую числовую экономико-математическую модель (приложение 2). Все требования сформулированы в виде линейных уравнений и неравенств. Они представлены 78 ограничениями. Основными ограничениями являются земельные и трудовые ресурсы, денежно-материальные затраты и корма. Они записаны в строках 1-16 и обеспечивают использование производственных ресурсов в объёме, не превышающем их наличия.

Первое ограничение свидетельствует о том, что сумма площадей посева сельскохозяйственных культур не превысит площади пашни. Коэффициенты при переменных в данном ограничении характеризуют расход пашни на возделывание 1 га каждой сельскохозяйственной культуры. При посеве сельскохозяйственных культур по занятым парам и непаровым предшественникам технолого-экономические коэффициенты по переменным будут равняться единице. Коэффициентами по переменным х14 и х15, выражающим площади посева однолетних трав на сено и зеленый корм проставлены 1.06, а по х16, х17, х18, обозначающим площади посева многолетних трав на сено, сенаж и зеленый корм - 1.03. В этих коэффициентах 0.06 и 0.03 га пашни отводится на производство семян однолетних и многолетних трав для засевания 1 га. В правой части записывается площадь пашни. Математически это записывается следующим образом:

х1+х2+...+1.06х14+...+1.03х17+...+х19+...+х21<=8347

Второе и третье ограничения связаны с размером площади естественных сенокосов и пастбищ. Коэффициентами при х22 по второй строке и при х23 по третьей строке стоят единицы, а в правой части - площади естественных сенокосов и пастбищ. Ограничение по площади естественных сенокосов имеет вид : х22<=87, пастбищ - х23<=4718.

Четвертое и пятое ограничения характеризуют использование трудовых ресурсов как в течение года, так и напряженный период на 1 га или голову скота.. При решении задач подобного рода принято производственную структуру хозяйства определять не исходя из наличия трудовых ресурсов, а определять их потребность в процессе решения. В случае дефицита трудовых ресурсов необходимо намечать организационно - экономические мероприятия по его устранению. Математически данные ограничения представляются следующим образом:

14.8х1+14.8х2+...+2.5х23+168.5х26+...+42.3х28-х64=0

Шестое ограничение обеспечивает в процессе решения задачи определение общей суммы материально-денежных средств. Общая сумма затрат определяется также в процессе решения через вспомогательную переменную :

384х2+216х5+275х7+174х8+180х11+3200х12+5300х13+190х14+180х15+...+189х27+

+24х29+...+240х62-х66=0

Коэффициентами по переменным, характеризующим площади посева сельскохозяйственных культур на кормовые цели, являются материально-денежные затраты по ним на один гектар, а по переменным, отражающим направления реализации продукции, - себестоимость производства единицы продукции.

Ограничения, записанные в строках 7-16, характеризуют взаимосвязь между производством кормов и потребностью в них животноводства и гарантируют удовлетворение этих потребностей кормами собственного производства. Потребность в кормах и производство их определяются в процессе решения.

Логическая запись этого соотношения имеет вид:

Потребность животноводства в кормах <= Производство кормов или

Производство кормов + Потребность животноводства в кормах <=0.

Таким образом, общий баланс кормов в структурном виде имеет следующую формулу:

или ,

где vij - выход i-го вида питательных веществ с 1 га j-й культуры (j-го вида угодий): aij-годовая потребность одной структурной головы j-го вида животных в i-м виде питательных веществ.

Это условие лежит в основе записи ограничений по балансу кормов. Коэффициенты, выражающие выход кормов с 1 га (в центнерах кормовых единиц) посева сельскохозяйственных культур берутся с отрицательным знаком, а коэффициенты , характеризующие нормы расхода кормов на 1 структурную голову в год по видам животных - с положительным. Например, баланс кормов по общему количеству кормовых единиц (7 ограничение) запишется следующим образом:

-3.6х1-18.8х2-...-0.13х25+50.7х26+97.8х27+28х28-3.45х46<=0

Аналогично моделируется условие по балансу переваримого протеина (8 ограничение). Технолого-экономические коэффициенты по сельскохозяйственным культурам, видам продукции, прошедшим переработку (х47 - подсолнечник переработанный в масло), показывают выход переваримого протеина в центнерах с 1 га и 1 ц переработанного сырья, а по отраслям животноводства - потребность в переваримом протеине одной структурной головы в год.

Отдельными ограничениями записаны условия по определению потребности животноводства в молоке и обрате (строки 15-16). Коэффициенты по переменным х24,х25 выражают содержание кормовых единиц в центнере молока и обрата, а по переменным х27,х28- годовую потребность одной структурной головы. Например, в 15 ограничении записан баланс по молоку:

0.51х26+0.28х27=0.34х24 или -0.34х24+0.51х26+0.28х27=0

Аналогично записывается ограничение по обрату.

В строках 17-27 записаны дополнительные ограничения, которые относятся не ко всем, а лишь к части переменных и выражают агротехнические и организационно-экономические требования данной задачи.

Так, по строке 17 записано условие, что зерновые в структуре посевных площадей составят не менее 53%, а по строке 18 - условие, что их площадь не превысит 66% площади пашни:

х1+х2+...+х9>=4450

х1+х2+...+х9<=5542

Строка 19 выражает условие, что площадь озимых будет не менее 12%, строка 20 - не более 19% площади пашни:

х1+х2+х3>=1007

х1+х2+х3<=1595

Двадцать первое ограничение характеризует соотношение посевных площадей озимой пшеницы и ржи. Площадь озимой пшеницы должна составлять 60% всего озимого клина:

х1+х2<=0.6(х1+х2+х3) или

0.4х1+0.4х2-0.3х3<=0

Коэффициенты при х1-х3 выражают севооборотные требования.

Площадь подсолнечника может колебаться от 1 до 4% площади пашни. Эти условия записаны в строках 22-23:

х10>=84

x10<=336

Площадь проса в хозяйстве неизменна в течение ряда лет и не превышает400га

х9<=400

Площадь пара в условиях микрозоны колеблется от 10 до 16%. Эти условия записаны в 25, 26 строках:

х21>=840

х21<=1344

Площади картофеля и овощей, используемых на внутрихозяйственные цели в товариществе, постоянны в течение ряда лет. Неизменны они и в модели. Данное ограничение записано в 27 строке:

х12+х13=25

В ограничениях, связанных с выполнением агротехнических требований, технолого-экономическими коэффициентами при переменных являются единицы - коэффициенты-связки, а в правой части записываются нижние и верхние пределы насыщения севооборотов отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур.

В строках 28-70 записаны ограничения, связанные с распределением и направлениями использования и реализации продукции.

Ограничение 28 характеризует распределение и направления использования пшеницы. Математически оно записывается следующим образом:

12.8х1+6.3х4=х29+...+х34=0 или

12.8х1+6.3х4-х29-...-х34=0

Коэффициентами по основным переменным, отражающих площади посева пшеницы на товарные цели является выход товарной пшеницы в центнерах с 1 га. При дополнительных переменных, связанных с направлениями использования зерна коэффициентами являются минус единицы . Это связано с тем, что единицей измерения данных переменных является один центнер.

Ограничения 29-34 отражают распределение пшеницы по каналам реализации в соответствии с заданными минимальными объемами. Так, товарищество по договору контрактации в федеральный фонд обязано продать 2145ц.Это условие записано в 29 ограничении:

х29>=2145.

Подобным образом моделируются условия по использованию пшеницы по другим направлениям.

Аналогично моделируются условия по направлениям использования продукции по остальным товарным культурам.

Данная модель разработана с учетом возможностей хозяйства частично перерабатывать произведенную продукцию. Поэтому, ограничения 52,58,62,66 и 69 предусматривают производство и распределение продукции переработки 1 ц зерна, муки и подсолнечника.

Коэффициенты при переменных, продукция которых предназначена для переработки, характеризуют нормативы выхода основной продукции (муки, масла и т.д.) из одного центнера зерна и подсолнечника. Данные коэффициенты берутся со знаком минус, а при переменных, отражающих распределение переработанной продукции по каналам реализации являются единицы.

Так,52 ограничение связано с производством и распределением муки:

-0.63х33+х48+...+х52>=0

В строках 53-57 записаны ограничения, связанные с распределением муки по каналам реализации в соответствии с заданными объемами. Так, в 53 ограничении записано условие продажи муки на рынке:

х48>=2146

Аналогичным образом моделируются условия по производству и распределению масла, вермишели и манки.

Далее следуют ограничения 71-73, связанные с развитием животноводства. Так 71 ограничение определяет поголовье коров:

х26>=550

Ограничения 75-77 обеспечивают производство продукции животноводства. Технолого-экономическими коэффициентами здесь являются выход товарной продукции одной головы, а в правой части - плановый объем производства продукции.

Последнее 78 ограничение способствует определению общей стоимости товарной продукции.

Технолого-экономическими коэффициентами при переменных, связанных со структурным поголовьем крупного рогатого скота и свиней, является стоимость товарной продукции, а с каналами реализации продукции - цены реализации одного центнера:

3045х26+5750х27+62х29+...+240х62-х63=0

За критерий оптимальности в данной задаче принята максимизация прибыли, определяемой в процессе решения задачи как разность между товарной продукцией в денежном выражении без повторного счета и суммой затрат на ее производство. Поэтому в качестве оценок целевой функции по отраслям животноводства принята товарная продукция без повторного счета в денежном выражении от одной головы, исчисленной по ценам реализации; по товарным сельскохозяйственных культурам, продукция которых реализуется по различным каналам, записаны цены реализации 1 центнера, а по вспомогательной переменной х66, выражающей общую сумму материально-денежных затрат, минус единица (-1). Для избежания повторного счета корма в целевую функцию введены с нулевой оценкой.

В целевой функции критерий оптимальности запишется следующим образом:

Z(1)=3045х26+5750х27+62х29+...+240х62-х66 max

Данный критерий можно записать компактно, результат решения задачи в обоих случаях будет одинаковым:

Z(2)= - max

Коэффициент при х66, равный минус единице (-1), обеспечивает вычитание производственных затрат из общей стоимости товарной продукции, т.е. обеспечивает максимизацию суммы прибыли по хозяйству.

Экономико-математическую модель данной задачи в структурном виде можно выразить следующим образом.

Для записи математической структурной модели необходимо принять следующие обозначения:

xj-искомое значение j-й переменной, обозначающей отрасль хозяйства или вид деятельности;

j-искомое значение j-й переменной, обозначающей расчетный показатель (неизвестные объемы ресурсов, материально-денежные затраты, товарная и валовая продукция, прибыль и другие суммарные показатели);

cj-оценка j-й переменной, соответствующая принятому критерию оптимальности;

aij-коэффициенты затрат i-го вида ресурсов или продукции в расчете на единицу j-й переменной величины;

atij-коэффициенты затрат i-го вида ресурсов в расчете на единицу j-й переменной в t-й период года;

vij-коэффициент выхода i-го вида ресурсов или продукции в расчете на единицу j-й переменной величины;

vtij- коэффициенты выхода iго вида ресурсов в расчете на единицу j-й переменной в t-й период года;

bi,bti-объемы наличных ресурсов за год в целом и в t-й период года;

gij-коэффициент выхода товарной продукции i-го вида в расчете на единицу j-й переменной;

Qi-минимальный объем продукции i-го вида, производство которого необходимо гарантировать при любом решении задачи;

Pij-коэффициент, означающий долю j-й сельскохозяйственной культуры в общей посевной площади;

N-множество переменных, означающих все отрасли хозяйства:

N1- фуражные отрасли растениеводства;

N2-товарные цели животноводства;

N3-отрасли животноводства;

N4-фуражные отрасли растениеводства для производства зеленых кормов;

M-группа ограничений:

M1-по использованию производственных ресурсов в хозяйстве;

M2- по использованию производственных ресурсов по периодам года;

M3-по производству, использованию и расчету потребности в органических и минеральных удобрениях;

M4-по производству и использованию кормов и питательных веществ корма;

M5-отражающие потребности зеленого конвейера;

M6-по соотношению посевов сельскохозяйственных культур;

M7- по производству гарантированного объема продукции;

M8- по расчету суммарных показателей производства (валовой и товарной продукции, прибыли и др.).

Найти значения переменных и , при которых достигает экстремального значения целевая функция

при следующих ограничениях:

по использованию производственных ресурсов в хозяйстве

(iÎM1);

по использованию и расчету потребностей ресурсов в t-й период года

(iÎM2);

по производству и использованию органических и расчету потребности в минеральных удобрениях

(iÎM3);

по производству и использованию кормов и питательных веществ корма

(iÎM4);

по производству и использованию зеленых кормов в t-й месяц пастбищного периода

(iÎM5);

по соблюдению определенных соотношений в посевных площадях сельскохозяйственных культур

(iÎM6);

по производству гарантированного объема товарной продукции

(iÎM7);

по распределению товарной продукции с учетом каналов реализации

(iÎM7);

по расчету суммарных показателей производства

(iÎM8);

по неотрицательности переменных, включенных в задачу

; >=0;

Так записаны в математической форме все условия задачи по оптимизации структуры производства в хозяйстве. На этом разработка модели заканчивается. После чего она готовится для решения и решается на ПЭВМ. Результаты решения выдаются в виде значения неизвестных и ограничений (распечатка).