Сходимость

Рассмотрим дифференциальное уравнение с граничными условиями

. (83)

Для задачи (83) определим аппроксимирующую ее разностную схему на сетке, состоящей из регулярных и нерегулярных узлов _h, _h соответственно:

. (84)

Для изучения вопроса о сходимости нас будет интересовать близость разностного решения y(x) и точного решения u(x) на сетке _h + _h, при этом для сравнения естественно использовать одну из сеточных норм.

Определение. Разностное решение y(x) задачи (84) сходится к решению u(x) дифференциальной задачи (83), если

;

разностное решение имеет порядок точности p, если

.

Определение. Разностная задача (84) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных  и  из соответствующих классов и схема устойчива.

Теорема⁶. Если решение u(x) задачи (83) существует, разностная схема (84) корректна и аппроксимирует задачу (83) на данном решении, то разностное решение сходится к точному.

Доказательство. Запишем цепочку преобразований:

,

где (x) — невязка разностной схемы. Проводя аналогичные преобразования для граничных условий, получим

(85)

Сравнивая (84) и (85), можно увидеть, что уравнения (85) являются разностными уравнениями (84) с модифицированной за счет невязки правой частью.

Поскольку разностная схема устойчива, постольку для любого  > 0 найдется такое (), что , если и .

По определению аппроксимации для любого  > 0 найдется такое h₀(), что и при h  h₀().

Таким образом, для любого  > 0 найдется такое h₀(()), что при h  h₀(()), т.е. имеет место сходимость. Теорема доказана.

1 Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. — М.: Едиториал УРСС. 2003.

2 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1972; Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970.

3 Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур/ Сб. статей/ Ред. Г.Г. Малинецкий/ Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения. — М.: Наука, 1999. 255с.

 Из локальной близости функций следует их среднеквадратическая близость, поэтому ||||_C называют более сильной, чем .

4 Определение понятия устойчивости, обозначения и доказательства теорем с некоторыми модификациями заимствованы из учебного пособия: Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, Главная ред. физ.-мат. лит., 1978.

5 Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, Главн. ред. физ.-мат. литературы, 1977.

6 Данная теорема кратко еще формулируется таким образом: “Из аппроксимации и устойчивости следует сходимость”.

— 29 —