Метод разделения переменных

Метод разделения переменных широко используется для обоснования устойчивости многих линейных разностных схем. При помощи этого метода устанавливается устойчивость в норме .

Рассмотрим применение метода разделения переменных на примере явной разностной схемы решения уравнения теплопроводности (26), заданной на равномерной сетке 0 = x₀ < x₁ < … < x_N = a:

. (71)

Погрешность решения уравнения (71) удовлетворяет такому же уравнению, т.е.

. (71)

Решение уравнения (71) будем искать методом разделения переменных, т.е. в виде

. (72)

Подставляя (72) в (71), находим

. (73)

Можно сформулировать следующий признак устойчивости. Схема (71) с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех q выполняется неравенство

, C = const. (74)

Доказательство. Система функций , q = 0,1,…,N  1 полна и ортогональна на равномерной сетке x_n, n = 0,1,…,N. Разложим произвольную ошибку начальных данных в ряд Фурье по приведенной выше системе функций, тогда

.

В силу линейности уравнения (71) и представления (72), можно записать

.

Используя ортогональность гармоник, находим

(75)

Учитывая (74), (75), получаем выражение

,

которое совпадает с признаком устойчивости по начальным данным (60), т.е. утверждение доказано.

Применим признак устойчивости по начальным данным (74) к оценке (73). При C = 0 можно найти, что при любых q = 0,1,…,N  1, когда , т.е. схема (71) является условно устойчивой.

Операторные неравенства

Общая теория устойчивости разностных схем, основанная на установлении неравенств между разностными операторами, построена А.А. Самарским⁵. Эта теория позволяет для многих линейных систем получить необходимые и достаточные условия устойчивости. Рассмотрим одно из таких условий устойчивости.

Напомним некоторые свойства операторов, отображающих гильбертово пространство на себя. Оператор A называется неотрицательным (A  0), если (Ax,x)  0 для любого ненулевого вектора x  H, называется положительным (A > 0) при (Ax,x) > 0 и положительно определенным при (Ax,x)   (x,x),  > 0. Неравенство A  B понимается в том смысле, что A  B  0. При помощи положительного оператора A можно ввести так называемую энергетическую норму : .

Оператор A называется самосопряженным, если (Ax,y) = (x,Ay) для любых x,y  H. Квадратным корнем из самосопряженного неотрицательного оператора A называется такой оператор B, что BB = A. Оператор B обозначают A^1/2, он существует, является самосопряженным и неотрицательным.

Исследуем устойчивость двуслойной разностной схемы, которая представлена в так называемой канонической форме:

. (76)

Теорема. Если операторы A и B самосопряженные, не зависят от номера слоя m и выполняется условие

, (77)

то схема (76) устойчива по начальным данным в энергетической норме , т.е.

. (78)

Доказательство. Для исследования устойчивости по начальным данным правую часть можно отбросить. Полагая  = 0 и умножая (76) слева на A^1/2B^1, найдем

. (79)

Введем новую переменную и преобразуем разностную схему (79) к виду

,

при этом оператор S является самосопряженным.

Перепишем неравенство (77) в виде:

. (80)

Умножим неравенство (80) слева и справа на положительный оператор A^1/2, тогда

или в другой форме

.

Последнее неравенство позволяет записать следующую оценку

. (81)

Норма же связана с энергетической нормой простым соотношением:

. (82)

Из (81), (82) следует (78). Теорема доказана.