3.2. Кручение

Задача 3. Для вала, работающего на кручение (рис. 3.8), необходимо:

1. определить величины крутящих моментов на всех участках вала и построить эпюру ;

2. по условию прочности определить диаметр опасного сечения вала;

3. определить касательные напряжения на всех участках вала и построить эпюру касательных напряжений ;

4. определить величины углов закручивания на всех участках вала и построить эпюру углов закручивания φ;

5. проверить вал по условию жёсткости.

Расчёты провести для вала круглого поперечного сечения, а так же кольцевого сечения. Сравнить результаты и выбрать наиболее рациональное сечение.

Рис. 3.8. Схема вала

Дано:

1. допускаемое касательное напряжение ;

2. длины участков: ; ; ; ;

3. крутящие моменты ; ; ;

4. геометрический коэффициент кольцевого сечения .

Решение.

1. Для определения величин внутреннего силового фактора  крутящего момента, разбиваем схему вала на участки, начиная с незакреплённого конца в сторону жёсткой заделки (рис. 3.12). На каждом участке выполняем сечения.

Рассмотрим первое сечения вала I-I (рис. 3.9). Его длина изменяется от 0 до , т. е. . Отсечённый участок уравновешиваем крутящим моментом , величина которого определится по уравнению:

Рис. 3.9. Первый отсечённый участок вала

Внешний крутящий момент в данном уравнении положителен, так как при взгляде со стороны сечения он направлен в противоположную сторону хода часовой стрелки.

На втором участке (сечение II-II) действует уже несколько внешних крутящих моментов (рис. 3.10). Длина участка изменяется в пределе . Отсечённый участок уравновешиваем моментом , который определится по следующему уравнению:

Рис. 3.10. Второй отсечённый участок вала

Длина третьего участка изменяется от 0 до , т. е. . Уравновесим отсечённый участок (рис. 3.10) крутящим моментом , величина которого определится по следующему уравнению:

Рис. 2.3. Третий отсечённый участок вала

Так как на третьем участке не действуют внешние крутящие моменты, то уравнение для определения внутреннего силового фактора получилось подобным уравнению для предшествующего второго участка.

Рассмотрим четвертый участок, длина которого изменяется в пределе (рис. 2.4). Уравновесим отсечённый участок моментом и определим его величину по уравнению:

Рис. 2.4. Четвёртый отсечённый участок вала

По найденным величинам крутящих моментов строим эпюру , выбрав соответствующий масштаб (рис. 2.5)

2.1 Выполним следующие пункты задания (2÷5) для вала круглого поперечного сечения.

Запишем условие прочности при кручении, которое имеет вид:

, (1)

где   расчётное касательное напряжение в сечениях вала;   полярный момент сопротивления сечения;   допускаемое напряжение при кручении.

Полярный момент сопротивления для круглого поперечного сечения является его геометрической характеристикой, и определятся по следующей зависимости:

. (2)

Подставляя зависимость (2) в условие прочности (1), получим:

. (3)

Выбираем опасное сечение вала. Опасным сечением при постоянной площади вала будет являться такое, в котором действует наибольший крутящий момент. В нашем случае, опасным будет являться сечение на четвёртом участке, так как на нём действует максимальный внутренний силовой фактор . Для него найдём величину диаметра вала

Определим диаметр вала в опасном сечении из преобразованного условия прочности (2.3):

.

Следовательно, площадь исследуемого сечения вала будет равна:

.

3.1 Диаметр рассматриваемого вала на каждом его участке будет одинаковым. Зная величину диаметра, определим касательные напряжения:

на первом участке ;

на втором участке: ;

на третьем участке: ;

на четвёртом участке: .

По полученным величинам касательных напряжений строим эпюру (рис. 2.5).

4.1 Для определения величин углов закручивания проставляем характерные точки на границах участках вала (рис. 2.5) и рассматриваем вал с закреплённого его участка в сторону свободного конца.

Угол закручивания определяется по формуле:

, (4)

где   длина исследуемого участка вала;   модуль сдвига;   полярный момент инерции.

Для круглого поперечного сечения полярный момент инерции определится по формуле:

.

В нашем случае величина будет равна:

.

Зная величины модуля сдвига и полярного момента инерции, определим величин углов закручивания сечений вала используя формулу (4).

Точка А принадлежит жёсткой заделке, следовательно деформация в данной точке равна нулю, т. е. .

В точке В угол закручивания будет равен:

Для точки С получим:

В точке D угол закручивания определится следующим образом:

Для точки Е получим:

По найденным величинам углов закручивания и выбрав соответствующий масштаб, строим эпюру .

5.1 Проверяем вал по условию жесткости, которое выглядит в следующем виде:

, (5)

где   относительный угол закручивания;   допускаемый угол закручивания.

Величина допускаемого угла закручивания в большинстве случаев принимается конструктивно и зависит от длины вала. В технических конструкциях машиностроительного производства .

В нашем случае, максимальный крутящий момент действует на четвёртом участке . Следовательно, относительный угол закручивания на данном участке определится по выражению:

,

.

Расчетный угол закручивания в опасном участке получился по величине меньше, чем допускаемый угол. Следовательно, можно сделать вывод, что условие жёсткости выполняется.

2.2 Далее выполним пункты задания (2÷5) для вала кольцевого сечения.

Определяем внешний и внутренний диаметры вала в опасном участке из условия прочности (1) при кручении. В нашем примере, опасным является сечение на четвёртом участке, с крутящим моментом равным .

Значение внешнего диаметра вала кольцевого сечения будет определяться по выражению:

.

Величина внутреннего диаметра определится по следующей зависимости:

.

Зная величины диаметров кольцевого сечения, найдём его площадь:

.

3.2 Полярный момент сопротивления кольцевого сечения равен:

Зная величину , определим касательные напряжения на каждом участке вала:

на первом участке ;

на втором участке: ;

на третьем участке: ;

на четвёртом участке: .

По найденным значениям касательных напряжений строим эпюру (рис. 2.5) выбрав соответствующий масштаб.

Анализируя значения, видно, что на четвёртом участке условие прочности не выполняется:

Чтобы условие выполнялось, необходимо увеличить площадь сечения вала на данном участке.

4.2 Определяем углы закручивания сечений вала по формуле (4), рассматривая вал с закрепленного конца.

Полярный момент инерции для кольцевого сечения определится по формуле:

.

Деформация в точке А равна нулю ( ).

В точке В угол закручивания будет равен:

Для точки С получим:

В точке D угол закручивания равен:

Для точки Е получим:

По найденным величинам углов закручивания и выбрав соответствующий масштаб, строим эпюру .

Рис. 2.5. Схема вала с эпюрами

5.2 Проверим вал по условию жесткости (5) для опасного участка:

,

.

Условие жёсткости выполняется.