170

Раздел 3. Сопротивление материалов

3.1. Растяжение  сжатие

Задача 1. Для стального стержня круглого поперечного сечения, находящегося под действием распределённой нагрузки и осевых сил (рис. 3.1), необходимо:

1. определить величины продольных сил на каждом участке стержня и построить эпюру ;

2. по условию прочности выявить опасный участок стержня и определить площади каждого участка;

3. определить величины нормальных напряжений на всех участках стержня и построить эпюру ;

4. определить величины перемещений для каждой характерной точки стержня и построить эпюры .

Дано:

1. , , ;

2. , , ;

3. допускаемое напряжение ;

4. модуль упругости

Рис. 3.1. Схема стержня

Решение. 1. Для определения продольных сил , разбиваем стержень на определённые участки и делаем сечения начиная с не закреплённого конца стержня (рис. 3.5).

Рассмотрим первый участок I-I (рис. 3.2). Его длина изменяется от 0 до ( ).

Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой определится по следующему уравнению:

.

Данное уравнение показывает, что на всём первом участке стержня внутренняя продольная сила имеет постоянное значение. Знак минус указывает, что первый участок испытывает сжатие.

Рис. 3.2. Первый отсечённый участок

Рассмотрим второй участок II-II (рис. 3.3). Его длина изменяется от 0 до ( ).

Рис. 3.3. Второй отсечённый участок

Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на отсечённую часть стержня:

(1)

Уравнение (1) имеет переменную в первой степени, следовательно, графиком данного уравнения является наклонная прямая. Определим величины на границах второго участка:

  ;

  .

Рассмотрим третий участок III-III (рис. 3.4). Его длина изменяется от 0 до ( ). Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой определится по уравнению:

.

Данное уравнение показывает, что на всём протяжении третьего участка внутренняя продольная сила имеет постоянное значение.

Рис. 3.4. Третий отсечённый участок

По полученным данным строим эпюру , предварительно выбрав масштабный коэффициент (рис. 3.5).

2. Для определения опасного участка стержня и величин площадей каждого участка, запишем условие прочности при растяжении-сжатии:

(2)

Используя данное условие, запишем выражения для напряжений на каждом участке и приведём данные выражения к общему знаменателю:

для первого участка ;

для второго участка .

Данное равенство включает в себя переменную первой степени, поэтому запишем выражения для на границах второго участка

 при ;

 при ;

для третьего участка .

Опасным участком при растяжении-сжатии будет являться такой участок, на котором минимальная площадь сечения и действует максимальная продольная сила.

Принимая в выше указанных выражениях для напряжений знаменатель А за единицу площади, опасным будет являться второй участок при . Для него, по условию прочности (2) выразим площадь сечения:

Зная величину площади второго участка, найдём значения площадей первого и третьего участков:

3. Далее определим величины напряжений:

для первого участка ;

для второго участка:

при ;

при ;

для третьего участка .

По полученным значениям напряжений строим эпюру , предварительно выбрав масштабный коэффициент (рис. 3.5).

4. Указываем на стержне характерные точки (рис. 3.5), для которых будем определять величины перемещений . Данные точки лежат на границах участков.

Рис. 3.5. Схема стержня с построенными эпюрами

Точка А принадлежит жесткой заделке в которой перемещение отсутствует, т. е. .

Для точки В перемещение определится по следующему выражению:

Запишем выражение для перемещения в точке С:

В точке D перемещение определится по выражению:

По найденным величинам перемещений, в выбранном масштабе, строим эпюру .

Задание 3.1. Для стального стержня круглого поперечного сечения, находящегося под действием внешних силовых факторов ( и ), необходимо:

1. определить величины продольных сил на каждом участке стержня и построить эпюру ;

2. по условию прочности выявить опасный участок стержня и определить площади каждого участка;

3. определить величины нормальных напряжений на всех участках стержня и построить эпюру ;

4. определить величины перемещений для каждой характерной точки стержня и построить эпюры .

Модуль упругости для стали принять равным ; допускаемое напряжение .

Схемы стержней представлены на рис. 3.6, а исходные данные в таблице 1.1

Задача 2. Для стального стержня круглого поперечного сечения (рис. 3.7), находящегося под действием сосредоточенных сил F и распределённой нагрузки , требуются:

1. определить величины реакций в жестких заделках;

2. определить величины продольных сил на каждом участке стержня и построить эпюру ;

3. по условию прочности выявить опасный участок стержня и определить площади каждого участка;

4. определить величины нормальных напряжений на всех участках стержня и построить эпюру ;

5. определить величины перемещений для каждой характерной точки стержня и построить эпюры .

Дано:

1. модуль упругости для стали принять равным ;

2. допускаемое напряжение ;

3. ; ;

4. .

Рис. 3.7. Схема стержня

Решение. 1. Исследуемый стержень закреплён с двух сторон жесткими заделками, в которых возникают реакции. По этому, в одной рассматриваемой системе будут иметься две неизвестные (реакции), следовательно система статически неопределима. Для снятия неопределенности необходимо отбросить заделку, а её действие на стержень заменить реактивной силой, которую определяют по уравнению совместности деформаций ( ).

Обозначим на границах участков стержня характерные точки. Отбросим левую заделку и заменим её действие реакцией связи , представляя её как внешнюю сосредоточенную силу (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Схема стержня с отброшенной левой заделкой

Для определения реакции составим следующее уравнение:

, (3)

где   перемещение стержня от приложенных внешних усилий.

Распишем уравнение (3), получим:

. (4)

Перемещение в точке D равно нулю, так как она принадлежит жесткой заделке, т. е. . Перемещения на отдельных участках определяется по зависимости:

. (5)

Используя данную зависимость, уравнение (4) примет вид:

.

Подставляя в данное уравнение вместо продольных сил их зависимости, получим:

. (6)

Выполнив соответствующие преобразования уравнения (6) и подставив значения длин и силовых параметров выразим реактивную силу :

.

Далее отбросим правую заделку и заменим её действие реакцией связи (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Схема стержня с отброшенной правой заделкой

Для определения неизвестной реакции составим следующее уравнение:

, (7)

Перемещение в точке А равно нулю, так как она принадлежит жесткой заделке, т. е. . Используя зависимость (5), распишем уравнение (7):

.

Подставляя в данное уравнение вместо продольных сил их зависимости, получим:

(8)

Выполнив соответствующие преобразования уравнения (8) и подставив соответствующие значения длин и силовых параметров, найдём величину искомой реакции:

.

Знак минус указывает на то, что реакция направлена в противоположную сторону.

Выполним проверку правильности определения величин реакций по уравнению равновесия , получим:

Равенство нулю обеих сторон уравнения означает, что реакции найдены верно.

2. Для определения продольных сил, отбросим правую заделку заменив её действие сосредоточенной реакцией и разбив стержень на отдельные участки (рис. 3.13).

Рассмотрим первый участок I-I (рис. 3.10). Его длина изменяется в следующем пределе . Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой определится по следующему уравнению:

.

Рис. 3.10. Первый отсечённый участок

Данное уравнение показывает, что на всём первом участке стержня внутренняя продольная сила имеет постоянное значение. Знак минус указывает, что первый участок испытывает сжатие.

Рассмотрим второй участок II-II (рис. 3.11). Его длина изменяется от 0 до ( ).

Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на отсечённую часть стержня:

(9)

Уравнение (9) является уравнением первой степени, поэтому продольная сила на втором участке будет переменна.

Рис. 3.11. Второй отсечённый участок

Определим величины на границах участка:

  ;

  .

Рассмотрим третий участок III-III (рис. 1.12). Его длина изменяется от 0 до ( ). Действие стержня на отсечённый участок заменяем продольной силой , величина которой определится по следующему уравнению:

.

Данное уравнение показывает, что на всём протяжении третьего участка внутренняя продольная сила будет иметь постоянную величину.

Рис. 3.12. Третий отсечённый участок

По полученным величинам продольных усилий строим эпюру , предварительно выбрав масштаб (рис. 3.13).