2. Уровни ознакомления младших школьников с вопросами арифметической теории

Знакомство младших школьников с вопросами арифметической теории может осуществляться на различных уровнях:

1. Интуитивный, основанный на догадке, чутье, предшествующем опыте, здравом смысле.

Например: 7+3=

7+2+1= 10

2. Экспериментальный, при помощи научного опыта и посредством индуктивных умозаключений.

Учителем готовится материал для наблюдения, испытаний, исследования.

Дети выполняют практические действия с ним, наблюдают, анализируют, «открывают».

Методы: неполный индуктивный вывод, моделирование.

3 Логический, т.е. путём определений или доказательств.

Например: а·0=0 Определение и никаких объяснений.

Равенство 0·а=0 доказывается методом неполной индукции.

Следующие утверждения доказываются:

1·а=а а:а=1

а:1=а Докажите самостоятельно

Доказывается невозможность деления на 0.

4. Формальный (авторитарный),

Какой из этих уровней преобладает в начальной школе?

3. Неполный индуктивный вывод и моделирование как основные в нш методы «открытия» общих закономерностей

Экспериментальный уровень основан на применении методов неполной индукции и моделирования.

Сущность данных индуктивных методов как способов ПМД в следующем:

1. Обеспечивается наглядная основа формируемого знания: создаётся модель (предметная, графическая, знаковая) для некоторого частного случая без особенностей (например, 3 + 1, 3 + 3, 0 + 3 с особенностями); на этой модели устанавливается частный факт и высказывается соответствующее частное суждение.

2. На аналогичных моделях рассматриваются другие частные случаи из того же класса. Каждый раз высказывается то же самое суждение (ещё 1-2 раза как минимум).

3. Формулируется догадка, гипотеза о том, что этот факт, эта закономерность имеет место всегда (возможно при выполнении определённых ограничений, например, для вычитания, деления).

4. Осуществляется проверка выдвинутой гипотезы, предположения в других частных случаях.

5. Формулируется правило, закон и т.п.

Т.о. «открытие» идёт по схеме:

С(а ),С(а ),С(а ),…,С(а )

а € N C(а)

По индукции: от частного к общему.

Путь познания:

наблюдение анализ сравнение синтез догадка гипотеза проверка гипотезы индуктивное обобщение.

Система частных фактов, подбираемых для наблюдения, должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Содержать достаточное (min 2-3) число фактов для выделения общих существенных признаков.

2. Сохранять существенные признаки при вариативности несущественных.

Например:

1) а + в = в + а – моделирование с помощью абака; для тех же частных случаев – неполный индуктивный вывод.

Сравнить оба метода.

2) а : (вс) – моделирование путём разрезания полосок; фабричные таблицы.

Сравнить оба метода.

Моделирование и неполный индуктивный вывод относятся к классу индуктивных методов.

Отличительный признак моделирования – не связан с вычислительной деятельностью.

Особенности метода моделирования:

1) всё внимание и все интеллектуальные силы ученика направлены на осознание сущности, причины, способа получения новых знаний;

2) проверка выдвинутой гипотезы (догадки) возможна не только при непосредственном наблюдении частных фактов, но и при исследовании воображаемых моделей.

Всё это создаёт условия для более глубокой рефлексии выполненных на модели действий и их следствий, для появления внутреннего убеждения в истинности утверждения: открытие новых знаний осуществляется по существу, а не по форме, как с помощью неполной индукции.

Применение моделирования связано с поиском наиболее удачной модели, исследование которой приводило бы детей к математическим открытиям.

В качестве универсальной (её можно использовать при рассмотрении всех теоретических вопросов) удобно использовать прямоугольник (полоску), разбитый на единичные квадраты.

«Язык» такой модели:

сложение

ٱ - число 1 - число 2

прикладывание

вычитание умножение

отрезание части

разрезание

на 4 или по 2

8:4 или 8:2 6·10