Глава 6. Процессы управления и вынужденные колебания в нелинейных системах Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики

f(t)=Bsinωt (6.1)

Рис.6.1

Уравнение динамики системы имеет вид

Q(p)x + R(p)F(x) = S(p)f(t) (6.2)

Решение для вынужденных колебаний будем искать при­ближенно в форме

x = αsin(ωt + φ) (6.3)

где ω задано, а неизвестными являются амплитуда α и фаза φ.

Произведем гармоническую линеаризацию нелиней­ности:

(6.4)

(6.5)

или

(6.6)

где

(6.7)

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными α и φ можно решить графически

Рис.6.2

Рис. 6.3. Рис. 6.4.

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости α(ω) и φ(ω), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3).

Рис.6.5

Пример. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и f(t)= Bsinωt. Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты и заданных пара­метров системы k = 10, с = 10, b = 4, T₁= 0,01, Т₂ = 0,02, кривая Z(α) изображена на рис. 6.6, где отмечены значения α .

Рис. 6.6. Рис. 6.7.

Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости α(В) и φ(B) (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.

Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями

(6.8)

где , a f(t) — медленное по сравнению с воздействие, т. е. спектр возможных частот изменения f(t) много меньше ω. Решение будем искать в виде

(6.9)

где —тоже медленная по сравнению с x*(t) функ­ция времени, определяющая процесс управления при на­ложенных на него вынужденных вибрациях х*.

(6.10)

Для медленных составляющих (процесс уп­равления) имеем

(6.11)

а для вибрационных составляющих

(6.12)

(6.13)

(6.14)

(6.15)

Но согласно (6.13) имеем

(6.16)

а согласно (4.16)

(6.17)

Рис. 6.8.

где — коэффициент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6.18). Например, для идеальной релейной характеристики (см. раздел 4.2)

получим

F(x) = csignx

Получим

где — амплитуда симметричных вынужденных колеба­ний в данной системе, найденных согласно раздела 6.1.

Для релейных характеристик с зоной нечувствитель­ности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим

Рис.6.9. Рис.6.10.

На рис. 6.9 представлена зависимость коэффициента от амплитуды симметричных вынужденных колебаний.

Аналогично для релейной характеристики общего вида (рис. 6.10) получаем

Для кусочно-линейной характеристики с зоной не­чувствительности (рис. 6.11) имеем

а для характеристики с насыщением (рис. 6.12)

(ac ≥ b)

Рис.6.11. Рис.6.12.

Задача 1.

Рис. 6.13

Сигнал на входе нелинейности имеет вид

Причем

B > b

или же ликвидировать зону нечувствительности (рис. 6.11), получив

B > b

Задача 2.

Рис. 6.14

Уравне­ние углового движения самолета по тангажу

где — отклонение самолета по тангажу, δ — отклоне­ние руля.

Уравнение измерителей

где f(t) = Вsinωt — вибрационная помеха

амплитуду симметричных вынужденных колебаний на входе нелинейности х можно вычислить по формуле

и для данной нелинейности (рис. 6.14,6), согласно (6.24), получаем

(6.28)

Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27) примет вид

Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень:

Предпоследний определитель Гурвица

при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид

Рис.6.15.