Разности второго порядка - это

Разности порядка k - это

(10.9)

Для выполнения расчетов исходные данные и расчитанные разности удобно располагать в таблице следующего вида.

i	xi	Yi	yi	2yi	…	nyi
0
1
…
n

К примеру, для зависимости вида y_i = x_i³ + x_i² при x_i = i (i = 0, … , 5) такая таблица имеет следующий вид :

i	xi	Yi	yi	2yi	3yi	4yi	5yi
0	0	0	2	8	6	0	0
1	1	2	10	14	6	0	-
2	2	12	24	20	6	-	-
3	3	36	44	26	-	-	-
4	4	80	70	-	-	-	-
5	5	150	-	-	-	-	-

Формула Ньютона имеет два вида (иногда каждый из видов называют отдельной формулой и говорят о первой и второй формуле Ньютона). Первый вид формулы предназначен для вычисления значений интерполирующего многочлена в левой половине интервала [a, b], а второй вид - в правой его половине.

Для первого вида формулы Ньютона вводится величина , где x - значение аргумента, для которого необходимо вычислить значение интерполирующего полинома. Тогда значение полинома равно

Под N_n(x) понимается значение интерполяционного многочлена P_n(x), расчитанное по формуле Ньютона в точке x.

Для второго вида формулы Ньютона вводится величина . Тогда значение полинома равно

Пример 3. Для таблично заданной функции из примера 1 используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значение интрполяционного полинома при x=2.25.

Занесем исходные данные в таблицу, рекомендуемую для выполнения расчетов по интерполяционной формуле Ньютона и вычислим все необходимые разности. Получим

i	xi	yi	yi	2yi	3yi	4yi
0	0.5	3	-2	3.5	-3.5	3
1	1.0	1	1.5	0	-0.5	-
2	1.5	2.5	1.5	-0.5	-	-
3	2.0	4	1	-	-	-
4	2.5	5	-	-	-	-

Поскольку заданное значение x=2.25 находится ближе к концу интервала интерполяции (средина интервала - x_ср= (0.5 + 2.5) / 2 = 1.5) - воспользуемся вторым видом интерполяционной формулы Ньютона. Для этого вычислим значение

q = ( x – x₄) / h = (2.25 - 2.5 ) / 0.5 = - 0.5

и воспользуемся формулой (10.11) для n = 4

Подставляя в нее значения из таблицы, получим

Этот результат совпадает с результатом, полученным в предыдущих двух примерах.

Другие виды глобальной интерполяции. В некоторых случаях глобальной интерполяции использование полиномов в качестве интерполирующей функции не всегда удобно. Примером такой ситуации может служить наличие периода Т в исходных данных. В этом случае можно использовать тригонометрическую интерполяцию, когда в качестве интерполирующей функции используют тригонометрическую функцию вида

здесь значение m выбирается так, чтобы количество неопределенных коэффициентов a₀ , a_k , b_k (k=1, 2, … , m) было равным n+1 (при этом допускается один из коэффициентов a_m или b_m заранее положить равным нулю).

Иногда используют интерполяцию рациональными функциями вида

где P_k (x) и R_m(x) - полиномы степеней k и m соответственно, причем должно выполнятся соотношение (k +1) + (m+1) = n + 1. Но, в этом случае, полученной интерполяционной зависимостью можно пользоваться только при отсуствии у полинома R_m(x) корней на интервале интерполяции (т.е. при x₀  x  x_n ).

Вообще говоря, возможно выполнение глобальной интерполяции произвольной непрерывной на интервале интерполяции функциональной зависимостью вида где ₀ , ₁ , … , _n - коэффициенты, подлежащие определению по заданным значениям в узлах интерполяции.

Локальная интерполяция. Наиболее простыми и наиюолее известными на практике являются следующие два вида локальной интерполяции

• кусочно-постоянная

• кусочно-линейная.

Кусочно-постоянная интерполяция используется в тех случаях, когда пользователя устраивает недостаточно высокая точность интерполяции и у него нет желания выполнять более-менее сложные расчеты. Имеются несколько видов кусочно-постоянной интерполяции. Приведем простейшую из них

. (10.12)

Суть ее в том, что за значение интерполирующей функции внутри каждого локального интервала интерполяции принимается равной значению y в левом конце этого интервала.

Кусочно-линейная интерполяция является наиболее часто используемой на практике. Но только в тех случаях, когда пользователя устраивает недифференцируемая интерполяционная зависимость. Суть этой интерполяции в том, что заданные значения исходной функции (в узлах интерполяции) наносятся на координатную плоскость, а затем соседние точки соединяются отрезками прямых линий. Полученная в результате этого ломаная линия и будет представлять (графически) искомую интерполяционную зависимость.

y

x