Затем умножая при помощи функции мумнож получим
a
= X-1Y=
.
Следовательно, искомый интерполирующий полином будет
P4(x) = 15 – 39.1667x + 38.5x2 – 14.6667x3 + 2x4 .
Имеется возможность вычисления значения интерполяционного полинома для конкретного значения аргумента x без вычисления значений коэффициентов полинома. Для этих целей имеются специальные методы, называемые интерполяционными формулами. Наиболее используемыми из них являются формула Лагранжа и формула Ньютона.
Интерполяционная формула Лагранжа имеет следующий вид
(10.7)
Это основной вид интерполяционной формулы Лагранжа. Под Ln(x) понимается значение интерполяционного многочлена Pn(x), рассчитанное по формуле Лагранжа в точке x. Для проведения вычислений более удобен другой вид этой формулы
.
(10.8)
Здесь
В этом виде вычисления по формуле Лагранжа удобно проводить с использованием таблицы следующего вида
k |
Разности |
Dk = (x-xk)’(xk) |
yk /Dk |
||||
0 |
1 |
2 |
… |
n |
|||
0 |
x-x0 |
x0-x1 |
x0-x2 |
… |
x0-xn |
П строки 0 |
y0 /D0 |
1 |
x1-x0 |
x-x1 |
x1-x2 |
… |
x1-xn |
-- “ -- 1 |
y1 /D1 |
2 |
x2-x0 |
x2-x1 |
x-x2 |
|
x2-xn |
-- “ -- 2 |
y2 /D2 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
n |
xn-x0 |
xn-x1 |
xn-x2 |
|
x-xn |
-- “ -- n |
yn /Dn |
|
yk /Dk |
||||||
После заполнения таблицы производится вычисление значения (x) как произведения значений, расположенных на главной диагонали таблицы (выделены жирным шрифтом). После этого значение интерполяционного полинома вычисляется как произведение двух посчитанных уже значений
Пример 2. Для таблично заданной функции из примера 1 используя интерполяционную формулу Лагранжа вычислить значение интерполяционного полинома при x=2.25.
Заполним таблицу для счета по формуле Лагранжа. Получим
k |
Разности |
Dk = (x-xk)’(xk) |
yk /Dk |
||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
0 |
1.75 |
-0.5 |
-1.0 |
-1.5 |
-2.0 |
2.6250 |
1.14286 |
1 |
0.5 |
1.25 |
-0.5 |
-1.0 |
-1.5 |
-0.46875 |
-2.13333 |
2 |
1.0 |
0.5 |
0.75 |
-0.5 |
-1.0 |
0.18750 |
13.3333 |
3 |
1.5 |
1.0 |
0.5 |
0.25 |
-0.5 |
-0.09375 |
-42.6667 |
4 |
2.0 |
1.5 |
1.0 |
0.5 |
-0.25 |
-0.37500 |
-13.3333 |
|
-43.6571 |
||||||
(x) = 1.75 1.25 0.75 0.25 (-0.25) = -0.10254.
Следовательно, окончательно получим
L 4(2.25) = (-0.10254) (-43.6571) = 4.47656.
Интерполяционная формула Ньютона, также как и интерполяционная формула Лагранжа, имеет n+1 слагаемое, однако эти слагаемые не всегда являются равновеликими, т.е. одного порядка (по абсолютной величине), а постепенно (с ростом номера слагаемого) уменьшается по абсолютной величине. Это позволяет, при проведении расчетов с не очень большой точностью, не учитывать значения слагаемых с большим порядковым номером.
Важным условием при использовании этих формул является случай равноотстоящих значений аргумента, т.е. xi – xi-1 = h (i = 1, 2, … , n). Вводится понятие разностей. Первые разности - это
