Тема 9. Интерполирование функций.

Интерполирование (или интерполяция) предназначено для построения функциональной зависимости в виде

y = f(x)

на интервале [a, b] исходя из таблично заданных пар значений (x_i, y_i) (i=0, 1, 2, … , n), называемых узлами интерполяции. Для узлов интерполяции должно быть справедливым соотношение

a = x₀ < x₁ <x₂ < … <x_n = b. (10.1)

Построенная таким образом функциональная зависимость должна обязательно проходить через все узлы интерполяции, т.е. должно быть выполнено соотношение

f(x_i) = y_i (i=0, 1, 2, … , n). (10.2)

Различают два вида интерполяции - глобальную и локальную. При глобальной интерполяции функциональная зависимость ищется в виде единной функции, заданной на всем интервале [a, b]. При локальной интерполяции - исходный интервал [a, b] разбивается на несколько смежных подинтервалов [a_j, b_j] (j=1, 2, … , m) (m  n), на каждом из которых находится своя интерполирующая функция y = f_j(x) и которые затем “склеиваются” в единную интерполирующую функцию, заданную на всем интервале [a, b].

Исторически сложилось так, что теория интерполирования развивалась как глобальная интерполяция и в качестве искомой функциональной зависимости чаще всего бралась полиномиальная зависимость, т.е. полагалось f(x) = P_n(x), где

полином степени n, коэффициенты которого подбираются так, чтобы выполнялось соотношение

P_n(x_i) = y_i (i=0, 1, 2, … , n). (10.3)

Способ определения значений коэффициентов интерполяционного полинома - решение системы линейных уравнений относительно его коэффициентов

(10.4)

В матричном виде эта система может быть записана в виде

Xa = Y, (10.5)

где

X = , a=. , Y= .

Решение этой системы может быть получено любым способом, в частности методом обратной матрицы

a = X^-1Y (10.6)

с использованием матричных функций Excel.

Пример 1. Дана таблично заданная функция :

i	0	1	2	3	4
x	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
y	3.0	1.0	2.5	4.0	5.0

Необходимо построить ее интерполяционный многочлен.

Для нахождения коэффициентов a₀, a₁, a₂, a₃ и a₄ интерполирующего многочлена (порядок его равен четырем) воспользуемся формулой (10.6). Имеем

X = , Y= .

Используя функцию МОБР системы Excel, найдем

X^-1= .