4. P  (q  r) - припущення 2

Формула 3 рядка і антецедент формули 4 рядка співпадають; отже, до них можна застосувати правило відділення (МР):

5. q  r - МР до 3 і 4

Із списку аксіом обираємо аксіому 4: (А  В)  В за принципом, щоб можна було застосувати МР до 1 і 6 рядків:

6. (p  q)  q - аксіома 4

Якщо співставити формулу 1 рядка і антецедент формули 6 рядка, то очевидно, що до них необхідно застосувати правило відділення:

7. q - МР до 1 і 6

І нарешті, застосовуємо правило відділення до 5 і 7 рядків:

8. r - МР до 5 і 7.

Отже, виходячи із цього доведення можна стверджувати, що із припущень p  q, p  (q  r) можна вивести r.

Лекція № 7-8. Метатеорема про дедукцію.

Металогічні принципи у S².

(4 год).

Поняття "теорема" і "метатеорема".

Метатеорема про дедукцію (теорема Ербрана) та її особливості.

Металогічні принципи в аксіоматичному численні логіки висловлювань: принцип роз'язання (формулювання метатеорем та побудова їх доведення); принцип несуперечливості (формулювання метатеореми відносно теорем, метатеореми відносно правил висновку, метатеореми відносно елементів алфавіту та побудова їх доведення); принцип повноти (функціональна і дедуктивна повнота мови, формулювання метатеореми та побудова її доведення); принцип незалежності аксіом у аксіоматичному численні.

Семінарське заняття № 7 (2 год.)

1. Метатеорема про дедукцію.

2. Металогічні принципи аксіоматичного числення логіки висловлювань:

а) принцип розв'язання;

б) принцип несуперечливості;

в) принцип повноти;

г) принцип незалежності.

Контрольні запитання

1. Які фундаментальні властивості числень вам відомі?

2. Як формулюється мета теорема про дедукцію?

3. Які ви знаєте металогічні принципи?

4. Що означає «принцип розв’язання?

5. Скільки метатеорем описують «принцип розв’язання»?

6. Відносно яких компонентів доведення формулюється «принцип несуперечності»?

7. Які властивості формалізованих мов характеризує «принцип повноти»?

8. Що означає функціональна повнота мови?

9. Що означає дедуктивна повнота мови?

10. В якому сенсі в логіці вживається термін «незалежність»?

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[ 2: с. 116-121; 4: с. 350-359; 15: с. 184-193; 18: с. 47-64; 29: с. 72-87, 104-122; 44: с. 15,416-417.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(4 год.)

Конспект статей із словника

Філософський енциклопедичний словник. — К, 2002. - -"Аксіоматичний метод ";

- "Незалежність аксіом".

Методичні вказівки

Ознайомлення з цією темою дозволяє студенту з’ясувати, що необхідно розрізняти теорміни “теорема” і “метатеорема”.

Теоремами називаються доказувані формули числення, тоді як метатеореми – це доказувані змістовні твердження про властивості числення.

До таких фундаментальних властивостей числень відносяться: вивідність, розв’язуваність, несуперечливість, повнота, незалежність. Кожна із цих властивостей описується метатеоремами: про дедукцію, про несуперечливість, про розв’язуваність, про повноту, про незалежність.

Студентам необхідно знати, що теорема про дедукцію формулюється так:

“Якщо А₁, …, А_n-1, А_n  B, то А₁, …, А_n-1  А_n  B”. Тобто, якщо із формул А₁, …, А_n-1 і А_n виводиться В, то із формул А₁, …, А_n-1 виводиться імплікація А_n  B. Іншими словами: “Якщо дано доведення В із А₁, …, А_n-1, А_n, то можна побудувати заключення А_n  B на підставі цього доведення”.

Вивідність формули на підставі метатеореми про дедукцію визначається трьома особливостями, які виражаються у вигляді таких правил:

а) із довільних формул А₁, …, А_n вивідна кожна із цих формул:

А₁, …, А_n  А_і де n  i  1;

б) із довільних формул А₁, …, А_n вивідна кожна формула, яка вивідна в S²:

А₁, …, А_n  R (R – вивідна формула S²);

в) якщо із довільних формул А₁, …, А_n вивідна формула виду МР, то із них вивідний консеквент цього модусу.

Ці особливості вивідності (дедукції) на підставі метатеореми про дедукцію є очевидними на основі таких семантичних міркувань:

1. Особливість (а) виражає властивість рефлексивності слідування: “Із засновку випливає він сам”: А  А, так як  А  А.

2. Особливість (б) виражає властивість істинних (вивідних) формул. “Кожна істинна формула розглядається як консеквент L -  (логічно істинної імплікації) з довільним антецедентом”.

3. Особливість (в) фіксується так “Якщо із А₁, …, А_n В і із

А₁, …, А_n  В  В, то  В  В, але це можливо, коли  В ”

Властивості роз’язання, несуперечливості, повноти і незалежності називають металогічними принципами. І аналізуються вони через доведення відповідних метатеорем.

Теорію називають розв'язною, якщо існує алгоритм, який для довільної формули за скінченну кількість кроків встановлює, чи існує її виведення. Інакше теорію називають нерозв'язною.

Принцип розв’язання характеризується доведенням відповідних метатеорем. Їх всього чотири:

МТ₁ -  А   А (формулюється:«якщо А – доказане, то тотожно-істинне А»)

МТ₂ -   А    А (формулюється: «якщо А не тотожно-істинне, то і не доказане А»)

МТ₃ -  А   А (формулюється: «якщо А тотожно-істинне, то доказане А»)

МТ₄ -   А    А (формулюється: «якщо А не доказане, то не тотожно-істинне А»).

Теорію називають суперечливою, якщо всі її формули є теоремами. Інакше її називають несуперечливою.

Принцип несуперечливості формулюється відносно:

• теорем,

• правил висновку,

• елементів алфавіту.

Дефініція несуперечливості відносно теорем:

Логічна система несуперечлива, якщо, не всі правильно побудовані формули є теоремами. Це положення доводиться МТ_5..

Наслідком МТ₅ є семантичне формулювання несуперечливості:

«Якщо хоча б одна правильно побудована формула недоказувана, то жодна теорема не є логічним протиріччям».

Дефініція несуперечливості відносно правил висновку:

В синтаксичному смислі система S² несуперечлива відносно правил висновку, якщо в ній неможливо довести А і довести  А».

Доведення цього положення здійснюється двома метатеоремами:

МТ₆ (пряма):  А     А (формулюється так: «Якщо вивідне А, то невірно, що вивідне  А);

МТ_{7 –} (обернена):   А    А ( формулюється так: «Якщо в S² вивідне А, то невірно, що вивідне А») .

Дефініція несуперечливості відносно елементів алфавіту (пропозиційних змінних):

а) у синтаксичному розумінні – жодна окремо взята пропозиційна змінна не є теоремою та тавтологією, тобто не є доказуваною;

б) у семантичному розумінні: - жодна окремо взята пропозиційна змінна не є тавтологією.

Це означає, якщо формула складається із однієї пропозиційної змінної , яка набуває логічних значень «і» або «х», тобто є фактично істинною формулою, а отже не може бути теоремою, тобто не є доказуваною.

Принцип повноти характеризує дві властивості формалізованих мов:

По-перше, виразні можливості засобів мови;

По-друге, виразні можливості дедуктивних засобів мови.

У зв’язку з цим розрізняють:

а) функціональну повноту мови;

б) дедуктивну повноту мови .

Функціональна повнота засобів мови – це повнота логічних сполучників.

У системі S¹ група логічних сполучників повинна бути достатньою для вираження всіх п’яти сполучників, які використовуються у ППФ.

Однак, у групі сполучників (, , , , ) виділяють певні базисні сполучники, до яких можна звести решту сполучників. Цю групу називають функціонально повною.

Дедуктивна повнота характеризує властивості засобів побудови доведення. В S² такими засобами є аксіоми і правила висновку.

МТ₈: «Система S² дедуктивно повна, якщо в ній для будь-якої формули В докузувано, що:

1) або В вивідне:  В;

2) або приєднання В до системи аксіом робить її суперечливою.

Термін “незалежність” вживається у логіці для характеристики відношення між структурними утвореннями формалізованої мови:

1. стосовно окремих аксіом;

2. стосовно системи аксіом;

3. стосовно правил висновку.

МТ₉ : “Аксіома, яка не є вивідною із прийнятої в S² системи аксіом вважається незалежною”.

Лекція № 9. Натуральне числення логіки висловлювань (2 год.)

Засоби натурального числення логіки висловлювань: алфавіт, правила утворення, правила інтерпретації нелогічних і логічних термінів, 14 правил висновку.

Особливості логічного числення у вигляді натурального висновку. Правила введення і усунення пропозиційних зв'язок ("генценівські числення"). Властивості знака «» в системі S³.

Дефініція доведення в S³. Прямий та непрямий висновок. Дефініція поняття вивідності із припущень. Поняття «гіпотеза». Побудова доведення теорем в системі S³.

Семінарське заняття № 8 (2 год.)

1. Визначення натурального числення логіки висловлювань та його структура.

2. Особливості натурального висновку.

3. Характеристика правил введення і усунення пропозиційних зв'язок.

4. Структура доведення у системі S³ .

Контрольні запитання та вправи