Спочатку приведемо її до днф, тобто позбавимося імплікації відповідно до «закону виключення імплікації» а в а в:
(A B) (B A)
Потім звільнимося від подвійного заперечення за допомогою «закону зняття подвійного заперечення» і отримаємо вираз:
(A B) (B A)
Застосуємо до нього «закон дистрибутивності кон’юнкції по відношенню до диз’юнкції» А (В С) (А В) (А С):
(A B) (A A) (B B) (A B)
Отримана формула є ДНФ вихідної формули.
Якщо співставити її з ознаками ДДНФ, то стає очевидним, що під формула А А скорочується, оскільки відповідно до ознак жоден диз'юнкт не може мати змінної одночасно із її запереченням.
Підформула В В також скорочується відповідно до ознак ДДНФ, оскільки жоден диз’юнкт не повинен мати двох однакових змінних і після її скорочення залишається В (вироджена диз’юнкція):
(A B) B (А В)
Ще однією ознакою ДДНФ є те, що у кожному її диз’юнкті наявні усі змінні, які є у вихідній формулі. Тобто, відповідно до цієї ознаки у другому диз’юнкті В не вистачає змінної А. Тому необхідно приписати за допомогою кон’юнкції до диз’юнкта В диз’юнкцію А А:
(A B) [B (A A)] (А В)
Після чого застосовуємо у квадратних дужках «закон дистрибутивності кон’юнкції по відношенню до диз’юнкції» А (В С) (А В) (А С) і отримуємо формулу :
(A B) (В А) (В А) (А В)
О
триману
формулу знову співставляємо із ознаками
ДДНФ
і скорочуємо схожі формули, оскільки у
ДДНФ
неможе бути двох однакових диз’юнктів:
(A B) (В А) (В А) (А В)
І в резутаті отримуємо таку формулу:
(A B) (В А)
Із цієї формули ДДНФ очевидно, що вихідна формула має 3 гіпотези:
1. (A B)
2. (В А)
3. (A B) (В А)
Якщо будь-яку із гіпотез приєднати за допомогою імплікації до вихідної формули, то отримаємо тавтологію.
Перевіримо це на нашому прикладі:
(A B) [(A B) (B A)]
Для перевірки цього факту зведемо дану формулу до КНФ:
(A B) [(A B) (B A)]
A B [(A B) ( B A)]
(А В А В) (А В В А)
Кожен кон'юнкт отриманої КНФ має змінну і її заперечення, а це означає, що А B дійсно є гіпотезою для вихідної формули.
Скороченою диз'юнктивною нормальною формою (СДНФ) даної формули називається така її ДНФ, яка задовольняє такі умови:
1) у жодному диз'юнкті немає двох однакових кон'юнктів;
2) якщо є два однакових диз'юнкти, то один з них скорочується;
3) жоден диз'юнкт не містить змінної і її заперечення.
Для того, щоб привести формулу до СДНФ необхідно виконати такі дії:
1) привести вихідну формулу до ДНФ;
2) співставити отриману ДНФ із ознаками СДНФ;
3) послідовно застосувати до отриманого виразу «закони виявлення» і «закони поглинання».
За допомогою СДНФ знаходять всі прості гіпотези довільної формули.
Наприклад, візьмемо формулу:
((A B) C) C
Знайдемо всі її прості гіпотези, тобто приведемо її до СДНФ.
((A B) C) C
((A B) C) C
((A B) C) C
(А С) (В С) С
Формула у останньому рядку є ДНФ вихідної формули. Співставляємо її з ознаками СДНФ. А потім приводимо її до СДНФ. Для цього спочатку застосовуємо «закон виявлення» (А В) (А С) (А В) (А С) (В С) і отримуємо вираз:
(А С) (В С) С А В
Д
алі
застосовуємо «закон
поглинання»
(А
В)
А
А
:
(А С) (В С) С А В
Після застосування «закону поглинання» ми отримали таку формулу:
С А В
Тобто, вихідна формула має чотири прості гіпотези:
1. С;
2.А;
3.В;
4. С А В.
ТЕМА: ЧИСЛЕННЯ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЮВАНЬ
Лекція № 6. Аксіоматичне числення логіки висловлювань (2 год.)
Загальна характеристика числення логіки висловлювань. Мова числення логіки висловлювань. Аксіоматичне числення логіки висловлювань. Мова аксіоматичного числення логіки висловлювань. Синтаксис системи S2: правила утворення та правила перетворення.
Алфавіт та дефініція формули у аксіоматичному численні. Характеристика правил перетворення: дефініція аксіоми, дефініція теореми, список аксіом Давида Гільберта, правила доведення із аксіом: правило відділення ("модус поненс") та правило підстановки, дефініція доведення, дефініція доказової формули.
Алгоритм доведення теореми із аксіом.
Доведення із кінцевого числа довільних формул. Дефініція доведення із гіпотез. Алгоритм побудови доведення із гіпотез.
Семінарське заняття № 6 (2 год.)
Визначення числення логіки висловлювань. Структура числення логіки висловлювань.
Характеристика синтаксису аксіоматичного числення логіки висловлювань:
а) правила утворення;
б) правила перетворення.
Побудова доведення у системі S2 із аксіом.
Побудова доведення із припущень у аксіоматичному численні логіки висловлювань.
Контрольні запитання та вправи
У чому полягає різниця між афавітом системи S1 та S2 ?
Чим характеризується формула у системі S2 ?
Що включають у себе правила перетворення мови аксіоматичного числення логіки висловлювань?
4. Що означає поняття «теорема» в аксіоматичному численні логіки висловлювань?
Як визначається поняття «аксіома» в системі S2 ?
Як формулюється правило відділення в аксіоматичному численні логіки висловлювань?
Сформулюйте дефініцію доведення в системі S2 .
Як будується доведення із аксіом в аксіоматичному численні логіки висловлювань?
Хто запропонував набір аксіом для доведення теорем у S2 ?
Як будується доведення із гіпотез в аксіоматичному численні логіки висловлювань?
Доведіть, що наведені формули є теоремами в аксіоматичному численні логіки висловлювань (з аксіомами):
q q;
(p q) ((p q) q)
Побудуйте доведення із гіпотез:
• q p, q (p r) r
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:
[ 1: с.41-45; 2: с.113-121; 4: с. 343-350; 15: с. 184-193; 18: с. 47-64; 29: с. 72-87, 104-122; 44: с. 14-15; 121;165; 714; 52: с. 48-53, 101-108, 112-113, 142-143, 148-157.]
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
(4 год.)
Конспект статей із словника
Філософський енциклопедичний словник. - К, 2002. - "Аксіома"; - "Гіпотеза";
- "Доведення"; - "Числення висловлювань".
-"Числення ";
Методичні вказівки
Вивчаючи дану тему студенти повинні засвоїти, що до синтаксису аксіоматичного числення логіки висловлювань (S2) входять окрім правил утворення правила перетворення.
Правила утворення характеризуються алфавітом та визначенням формули. Алфавіт системи S2 складається із тих самих символів, що і алфавіт системи S1 (пропозиційних змінних, пропозиційних зв’язок). Але відмінність між алфавітами системи S1 та системи S2 полягає у тому, що у системі S2 єдиним способом визначення пропозиційних змінних і пропозиційних зв’язок є способи поводження з ними у відповідності до правил висновку, тобто про табличне визначення пропозиційних зв’язок тут уже не йдеться.
Дефініція формули у системі S2 така сама, як і у системі S1 . Різниця лише у тому, що фомула у системі S2 характеризується не таблицями істинності, а ситуацією виводу. Тобто, тотожно-істинні формули (або тавтології) розподіляються на теореми і аксіоми.
Правила перетворення системи S2 складаються із таких компонентів:
1) Дефініція аксіоми.
2) Дефініція теореми.
3) Список аксіом.
4) Правила доведення, які включають:
а) правило відділення, або правило “modus ponens” (МР);
б) правило підстановки (п/п).
5) Дефініція доведення.
6) Дефініція доведеної формули.
Список аксіом у системі S2 повинен бути достатнім для доведення теорем у цій же системі. Як зразок візьмемо набір аксіом запропонований німецьким вченим Давидом Гільбертом:
1. А (В А)
2. (А (В С) ((А В) (А С))
3. (А В) А
4. (А В) В
5. А (В (А В))
6. А (А В)
7. В (А В)
8. (А С) ((В С) ((А В) С))
9. (А В) ((А В) А)
10. (А В) (В А)
Якщо застосувати до наведеного набору аксіом правила доведення, то можна вивести будь-яку теорему в системі S2 .
Правила виводу:
1. правило відділення або “modus ponens” (МР) записується так:
А
А В
В
2. правило підстановки (п/п) має вигляд:
А (x1 , x2 , ... xn )
А (x1 , x2 , ... xn )
Дефініція доведення (виводу): Доведенням називається послідовність формул А1, ... Аn де кожна із формул є або аксіомою, або доказаною раніше формулою, або отримана за правилами доведення; остання формула послідовності Аn є виразом, який потрібно було довести.
Дефініція доказової формули: Формула А називається доказовою тоді, коли є можливість побудувати доведення, останньою формулою якого є формула А.
Якщо формула доказова, то записують так: А.
Якщо формула не доказова, то: А.
Для того щоб побудувати доведення формули F, необхідно здійснити такі дії: