1) Формалізувати всі засновки міркування і його висновок;

2) Поєднати засновки міркування за допомогою логічного сполучника “” (конюнкція), а висновок приєднати за допомогою - “” (імплікації).

3) Створену формулу перевірити за допомогою таблиць істинності, чи логічно слідує із кон’юнкції засновків міркування висловлювання, яке відповідає висновку міркування.

Якщо у останньому стовпчику таблиці істинності утворена формула набуває логічного значення “істина”, тобто виражає логічний закон, тоді можна стверджувати, що із кон’юнкції засновків міркування логічно слідує його висновок, отже, міркування оцінюється як правильне. Якщо ж – ні, тоді – як неправильне.

Наприклад. Перевіримо чи є дане міркування правильним, тобто з’ясуємо чи логічно слідує висновок міркування із його засновків.

“Якщо предмет є цікавим, тоді він - корисний. Предмет є цікавим. Отже, він є корисним”.

Формалізуємо це міркування.

Перший засновок - “Якщо предмет є цікавим, тоді він - корисний” відповідає такій формулі - p  q,

Другий засновок – “Предмет є цікавим” відповідає формулі – p.

Висновок - “Отже, він є корисним” відповідає формулі - q.

Тепер створимо формулу цього міркування, тобто поєднаємо засновки міркування через “” (кон’юнкцію) і приєднаємо до утвореного виразу висновок міркування через “” імплікацію.

((p  q)  p)  q.

Скористаємося таблицею істинності для перевірки правильності цього міркування.

№	p	q	p  q	(p  q)  p	((p  q)  p)  q
1.	і	і	і	і	і
2.	і	х	х	х	і
3.	х	і	і	х	і
4.	х	х	і	х	і

Останній стовпчик таблиці істинності має лише логічні значення «істина», отже, досліджувана формула є логічним законом, а це свідчить про те, що між засновками і висновком даного міркування існує відношення логічного слідування, тобто воно є правильним.

Розглянемо інший приклад.

Перевіримо правильність такого виводу, тобто з’ясуємо чи існує між засновками і висновком цього виводу відношення логічного слідування:

А  С; В  С

В  А .

Насамперед, поєднаємо засновки цього виводу за допомогою логічного сполучника «кон’юнкція»,

(А  С)  (В  С),

а його висновок приєднаємо до утвореного виразу за допомогою логічного сполучника «імплікація» і отримаємо вираз:

((А  С)  (В  С))  (В  А)

Тепер, знову звернемося до таблиці істинності.

№	А	В	С	А  С	В  С	В  А	(А  С)  (В  С)	((А  С)(В  С)) (В  А)
1.	і	і	і	і	і	і	і	і
2.	і	і	х	х	х	і	х	і
3.	і	х	і	і	і	і	і	і
4.	і	х	х	х	і	і	х	і
5.	х	і	і	і	і	х	і	х
6.	х	і	х	і	х	х	х	і
7.	х	х	і	і	і	і	і	і
8.	х	х	х	і	і	і	і	і

Отже, у таблиці істинності для цього виводу є один рядок (5) у якому формула набуває логічного значення “хиба”, а це означає, що між засновками і висновком досліджуваного виводу не існує відношення логічного слідування. Тому він оцінюється як неправильний.

Лекція №5. Нормальні форми логіки висловлювань (2 год.).

Поняття "Проблема розв'язання" у логіці. Кон'юнктивна нормальна форма. Досконала кон'юнктивна нормальна форма, її ознаки та задачі, які вона розв'язує. Скорочена кон'юнктивна нормальна форма, її ознаки та задачі, які вона розв'язує.

Диз'юнктивна нормальна форма. Досконала диз'юнктивна нормальна форма, її ознаки та задачі, які вона розв'язує. Скорочена диз'юнктивна нормальна форма, її ознаки та задачі, які вона розв'язує.

Семінарське заняття № 4-5 (4 год.)

1. Кон'юнктивна нормальна форма. Процедура зведення конкретної формули до КНФ.

2. Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ). її характерні ознаки, алгоритм зведення та задача, яка розв'язується за її допомогою.

3. Скорочена кон'юнктивна нормальна форма (СКНФ). її характерні ознаки, алгоритм зведення та задача, яка розв'язується за її допомогою.

4. Диз'юнктивна нормальна форма. Процедура зведення конкретної формули до ДНФ.

5. Досконала диз'юнктивна нормальна форма (ДДНФ). її характерні ознаки, алгоритм зведення та задача, яка розв'язується за її допомогою.

6. Скорочена диз'юнктивна нормальна форма (СДНФ). II характерні ознаки, алгоритм зведення та задача, яка розв'язується за її допомогою.

Контрольні запитання та вправи.

1. Що означає поняття "проблема розв'язання" у алгебраїчній системі логіки висловлювань?

2. Що таке кон'юнктивна нормальна форма?

3. Які задачі вирішуються за допомогою КНФ?

4. Які ознаки має досконала кон'юнктивна нормальна форма?

5. Який алгоритм зведення конкретної формули до ДКНФ?

6. Які ознаки має скорочена кон'юнктивна нормальна форма?

7. Який алгоритм зведення конкретної формули до СКНФ?

8. Що таке диз'юнктивна нормальна форма?

9. Які задачі вирішуються за допомогою ДНФ?

10. Які ознаки має досконала диз'юнктивна нормальна форма?

11. Який алгоритм зведення конкретної формули до ДДНФ?

12. Які ознаки має скорочена диз'юнктивна нормальна форма?

13. Який алгоритм зведення конкретної формули до СДНФ?

14. Приведіть до КНФ такі формули і перевірте чи є вони тотожно-істинними чи ні:

• (А  В)  (А  С);  (А  В)  (А  В);

• (А  (В А));  ((А  В)  С)  ((А С) В));

• ((А В)  С)  (А  С);  (А  В)  ((А  С)  В);

• (А  В А);  ((A  B)  (B  C)  (A B))  C;

• (А  С)  (А  С);

• (А  В)  (В А);  ((A  B)  ((A  C) B));

• (С  D)  (В  С);  (A  ((B  B)  A));

• (С  В)  (A  D);

• ((A  B)  (C  A)  (C  B)  (A  B  C)).

15. Приведіть до ДКНФ такі формули:

• А  (В А);  A  (B B);

• (А  В)  (А  С);  (A  B)  (A B);

• B  (C  D);  (A  B  C)  (A B C);

• C  (D  B);  (A  (A B));

• D  (A  B);  (A  B C)  (A B);

• C  (A  D);  (A  B)  (A  C).

16. Знайдіть всі логічні наслідки із даних формул:

• А  В, А  С, В  С;  (А  В), (В  С);

• А  (В  С), А  В;  ((А  В) С), В, С;

• А  В, В;  А, (А  В)  (В А), С;

• А  В, В  С, ((А  В)  С);  А  (В  С), А  А, В.

17. Приведіть формулу до СКНФ:

• А, (А  В)  (А  С);

• А  С, С  В, (А С);

• (А  В)  С, (С  В)  D.

18. Приведіть до ДНФ такі формули:

(А  В)  (А  С);  (В А)  (А  В);

• ((А  В)  (А  С))  (А  (В  С));

• А  (А В);  (А  (А  В));

• С  (С  С);  ((А  В)  (А  В));

• В  (В  С);  ((А В  С)  (А  В С));

• (((А  В)  (В  С))  (С  А).

19. Формула приведена до ДНФ. Отримайте для неї КНФ:

• (А  В  С)  (А В)  (В  С);

• (А  В  С)  (А В  С)  (А С).

20. Приведіть до ДНФ і КНФ такі формули:

• (А  В)  (А  С);

• ((А В)  (А  С))  (А  В);

• ((((А  В) А) В) С)  С;

• ((А  В)  С)  (А  С);

• (А  (В  С))  ((А С)  (А В));

• ((А  В)  (С А))  ((В С).

21. Приведіть до ДДНФ такі формули:

А  (В А);  ((А В)  (А В));

• (А  В)  (А  С);  (А  В  С)  (А В);

• В  (С  D);  А  (В  С);

• С  (D  B);  (А  В  С)  (А  В С);

• D  (A  B);  (А  С)  А  В;

• C  (A  D);

• (А  В)  (В  (С А));  (((А  В)  С)  (С  В));

• (А  В)  (А В);  (((А  В)  (В С)) В).

22. Знайдіть усі гіпотези для таких формул:

• ((А  В)  С)  ((С  В)  А);

• (А  (В  С))  (В  (В А  С)).

23. Привести до ДКНФ і ДДНФ такі формули:

(А  В)  (А С);  (С  А)  ((В  С)  А);

• (А В)  (С  В);

• (А С)  (А  В);  ((А  С))  (А  В).

24. Знайдіть усі прості гіпотези із таких формул:

(((А  В)  (C  D))  (A B  C));

• ((A  B)  ((A  C) B)).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[ 1: с. 54-56, 58-59; 2: с. 95-97, 108-111; 4: с. 329 - 340; 23: с. 35-42.; 26: с.177 - 193; 29: с. 41-56.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(6 год.)

Приведіть до ДКНФ і ДДНФ такі формули:

(А  В)  (А  С); (С  А)  ((В  С)  А);

Методичні вказівки

Вивчаючи цю тему студентам необхідно засвоїти, що у сучасній логіці існує таке поняття як “проблема розв’язання”.

В алгебраїчній системі логіки висловлювань воно визначається так: “Проблема розв’язання – це встановлення ефективної процедури, яка кінцевим числом кроків, дозволяє встановити чи є певна формула тотожно-істинною, або тотожно-хибною, або ж виконуваною”.

У S¹ такими процедурами є:

1) побудова таблиць істинності;

2) зведення формули до КНФ і ДНФ.

Кон’юнктивна нормальна форма це кон’юнкція елементарних диз’юнкцій.

Наприклад, (А  В)  (А  С), (А  В)  С тощо.

Для того щоб привести певну формулу до КНФ необхідно виконати такі дії:

1) За допомогою відповідних законів потрібно звільнитися від сильної диз’юнкції “”, еквіваленції “” та імплікації “”, якщо вони наявні у вихідній формулі;

2) Звільнитися від загального заперечення та подвійного заперечення відповідно до конкретних законів;

3) До отриманої формули застосувати закон дистрибутивності диз’юнкції по відношенню до кон’юнкції.

За допомогою КНФ розв’язують такі задачі:

• визначення чи є дана формула тотожно-істинною чи ні; та

• встановлення чи є формула С наслідком із формул А₁, А₂, … А_n.

Вихідна формула вважається тотожно-істинною або тавтологією, якщо кожна елементарна диз’юнкція, що входить до КНФ має у своєму складі одначасно пропозиційну змінну і її заперечення.

Наприклад,

визначимо чи є формула (В  (А  В)) А тотожно-істинною, тобто приведемо її до КНФ.

Спочатку за допомогою закону «виключення імплікації» (А  В А  В) звільняємося від логічного сполучника «імплікація», який є головним знаком формули:

(В  (А  В)) А;

Далі, за тим самим законом, «виключення імплікації» звільняємося від імплікації, що знаходиться у дужках:

(В  (А  В)) А;

Наступним нашим кроком буде застосування «першого закону де Моргана»

(А  В А В) для того, щоб позбутися загального заперечення:

(В  (А  В)) А ;

Використовуючи «другий закон де Моргана» (А  В А В) позбуваємося від заперечення підпормули (А  В):

(В  (А В)) А ;

Застосовуючи «закон подвійного заперечення» (А  А) звільняємося від подвійних заперечень, які знаходяться над змінними і отримуємо формулу:

(В  (А В)) А ;

І, нарешті, до отриманої формули застосовуємо «закон дистрибутивності диз’юнкції по відношенню до кон’юнкції»: А  (В  С)  (А  В)  (А  С):

((В  А)  (В В)) А ;

Використовуємо цей самий закон ще раз і отримуємо таку формулу:

(В  А А)  (В В А).

Отже, кожна елементарна диз’юнкція має у своєму складі змінну одночасно із її запереченням (А А) і (В В), а це означає, що вихідна формула є тотожно-істинною або тавтологією.

Що стосовно другої зачачі, яку розв’язує КНФ то, щоб перевірити чи є формула С наслідком із формул А₁, А₂, … А_n необхідно за допомогою кон’юнкції поєднати формули А₁, А₂, … А_n., а потім приєднати до них за допомогою імплікації формулу С, і отриманий вираз привести до КНФ.

Якщо отримана КНФ буде тотожно-істинною формулою (тавтологією), тоді можна стверджувати, що формула С наслідком із формул А₁, А₂, … А_n.

Переконаємося у цьому на прикладі.

Визначимо чи є формула С наслідком із формул А  В, А  С, В  С.

Для цього спочатку поєднаємо дані формули за допомогою логічного сполучника «кон’юнкція»:

(А  В)  (А  С)  (В  С) ;

Потім за допомогою логічного сполучника «імплікація» приєднаємо до отриманого виразу наслідок С:

((А  В)  (А  С)  (В  С))  С ;

Приведемо отриманий вираз до КНФ:

((А  В)  (А  С)  (В  С))  С

((А  В)  (А  С)  (В  С))  С

((А  В)  (А  С)  (В  С))  С

((А В)  (А С)  (В С))  С

1 2 3

((А В)  (А С)  (В С))  С

Наступним нашим кроком буде застосовання «закон дистрибутивності диз’юнкції по відношенню до кон’юнкції» А  (В  С)  (А  В)  (А  С):

(((А  А)  (А С)  (В  А)  (В С))  (В С))  С

Потім знову використовуємо «закон дистрибутивності диз’юнкції по відношенню до кон’юнкції» А  (В  С)  (А  В)  (А  С) і отримуємо:

((А  А В)  (А  АС )  (А С  В)  (А С С) 

 (В  А  В)  (В  А С)  (В С  В)  (В С С))  С;

І ще раз застосовуємо цей самий закон і отримуємо КНФ:

(А  А В С)  (А  АС  С)  (А С  В С ) 

 (А С С С)  (В  А  В С)  (В  А С С) 

 (В С  В С)  (В С С С) .

Кожна елементарна диз’юнкція, що входить до складу отриманої КНФ має змінну одночасно із її запереченням, а це означає, що вихідна формула є тотожно-істинною тому, можна стверджувати, що формула С є наслідком із формул А  В, А  С, В  С.

Досконалою кон'юнктивною нормальною формою (ДКНФ) деякої формули називається така її КНФ, яка задовольняє таким умовам:

1) у ній немає двох однакових кон'юнктів;

2) жоден кон'юнкт немає двох однакових диз’юнктів (А  В  А);

3) жоден кон'юнкт немає змінної і її заперечення (А  В А);

4) у кожному кон'юнкті наявні всі змінні, що входять до складу вихідної формули.

Щоб привести формулу до ДКНФ неохідно виконати такі дії:

а) звести вихідну формулу до КНФ;

б) співставити отриману КНФ із перерахованими ознаками ДКНФ;

в) якщо в якомусь із кон'юнктів відсутняпропозиційна змінна, яка наявна у вихідній формулі, то необхідно за допомогою диз'юнкції приєднати до цього кон'юнкта протиріччя цієї змінної (Х Х), а потім застосувати закон дистрибутивності диз'юнкції по відношенню до кон'юнкції.

За допомогою ДКНФ розв'язують задачу знаходження всіх логічних наслідків із даних формул.

Розглянемо приклади.

Візьмемо формули В і А  В і знайдемо з них всі логічні наслідки.

Для цього спочатку за допомогою кон'юнкції поєднуємо ці формули:

B  (A  B)

Далі, отримуємо з неї КНФ:

B  (A  B)

Отримали КНФ. Тепер співставимо отриманий вираз із ознаками ДКНФ.

Виявляється, що в першому кон'юнкті відсутня пропозиційна змінна А, яка є у вихідній формулі. Тому, нам необхідно приєднати за допомогою диз'юнкції до першого кон'юнкта протиріччя (А А):

(B  (A A))  (A  B)

Знову застосовуємо «закон дистрибутивності диз'юнкції по відношенню до кон'юнкції» і отримуємо вираз:

(B  A)  (B A)  (A  B)

Отже, ми отримали ДКНФ, яка дає можливість оглянути всі логічні наслідки із даних формул.

Цими наслідками є:

1. (В  А);

2. (В А);

3. (А  В);

4. (В  А)  (B A);

5. (B  A)  (A  B);

6. (B A)  (A  B);

7. (B  A)  (B A)  (A  B).

Знайдемо всі наслідки із таких формул: В  С, В А, В  С.

Поєднаємо ці формули за допомогою кон’юнкції:

(B  C)  (B A)  (B  C)

Приведемо триманий вираз до КНФ:

(B  C)  (B A)  (B  C)

Співставимо отриману КНФ із ознаками ДКНФ, очевидно, що у першому кон’юнкті не вистачає про змінної А, яка наявна у вихідній формулі; у другому – про змінної С; у третьому – про змінної А.

Отже, необхідно приєднати за допомогою диз'юнкції до першого кон'юнкта протиріччя (А А), до другого – (С С), до третього – (А А):

[(B  C)  (A A)]  [(B A)  (C C)]  [(B  C)  (A  A)]

Застосуємо закон «дистрибутивності диз'юнкції по відношенню до кон'юнкції»:

4. (B  C  A)  (B  C A)  (B A  C)  (B A C) 

 (B  C  A)  (B  C A).

Отримана ДКНФ представляє всі можливі наслідки із даних формул. Які групуються так: спочатку по одному наслідку, потім по два, по три, по чотири, по п’ять, і нарешті вся отримана ДКНФ.

Скороченою кон'юнктивною нормальною формою (СКНФ) даної формули називається така її КНФ, яка задовольняє таким умовам:

1) Жоден кон'юнкт не має двох однакових диз’юнктів (А  В  А);

2) У ній відсутні два однакових кон'юнкти;

3) У ній відсутні кон'юнкти до складу яких входить змінна і її заперечення.

Щоб привести формулу до СКНФ необхідно виконати такі дії:

1) отримати із вихідної формули КНФ;

2) співставити отриману КНФ із ознаками СКНФ;

3) до отриманого виразу послідовно застосовувати «закони виявлення» і «закони поглинання».

Завдяки СКНФ розв'язують задачу знаходження всіх простих наслідків із кон'юнкції заданих формул.

Наприклад, знайдемо всі прості наслідки із таких формул:

А В, А  С, B  C

Для цього, спочатку поєднаємо наведені формули за допомогою кон’юнкції і отримаємо вираз:

(A B)  (A  C)  (B  C)

Отриманий вираз приведемо до КНФ:

(A B)  (A  C)  (B C)

Отриману КНФ співставляємо із ознаками СКНФ.

Потім до отриманої КНФ послідовно застосуємо спочатку «закон виявлення»

(А  В)  (А  С)  (А  В)  (А  С)  (В  С):

(A B)  (A  C)  (B C)  (В  С)  (А В)

А потім «закон поглинання» (А  В)  (А  В)  В:

(A B)  (A  C)  (B C)  (В  С)  (А В)

1 2 3 4 5

У результаті застосування «закону поглинання» ми скоротили 1 і 5 підформули і отримали В, 3 і 4 підформули і також отримали В. Підформула (А  С) залишилася непоглинутою.

Отже, врешті решт, ми отримали таку СКНФ (А  С) В, де кожен із кон’юнктів є простим наслідком:

1. (А  С) ;

2. В;

3. (А  С) В.

Диз'юнктивною нормальною формою (ДНФ) даної формули називається диз'юнкція елементарних кон'юнкцій: (A  B)  (B  C)  A тощо.

Щоб привести формулу до ДНФ необхідно виконати такі дії: