1.3 Порядок выполнения работы

Чтобы составить ранжированный ряд, нужно в массиве статистических данных найти наименьшую варианту X_min и далее записать по возрастанию все остальные варианты. Последняя варианта в этом ряде будет X_max. Причем, если некоторые варианты встречаются несколько раз, то столько же раз их нужно и записать.

Чтобы составить вариационный ряд, что можно сделать в виде таблицы, нужно в первой строке записать все варианты ряда, указанные по одному, если они повторяются, а во второй строке указать их абсолютные частоты.

Таблица 1.1 – Построение ранжированного ряда дискретной величины

Варианты	X1	X2	X3	…	Xk
Частоты	n1	n2	n3	…	nk

Для построения непрерывных вариационных рядов нужно установить полную шкалу интервалов. Для определения оптимальной величины шага интервала, т.е. такой, при которой построенный интервальный ряд не был бы слишком громоздким и в то же время позволял выявить характерные черты рассматриваемого явления, можно использовать формулу Стэрджеса [3]:

где X_max и X_min – соответственно максимальная и минимальная варианты;

R = X_max – X_min – размах вариации, который представляет собой амплитуду колебания, или широту рассеяния и является величиной неустойчивой, зависящей от случайных обстоятельств;

K – число интервалов при объеме выборки n ≤ 100.

Если h оказывается дробным числом, то за единицу интервала следует взять ближайшее целое число. За начало первого интервала рекомендуется принимать величину, равную . Если оказывается, что a₁ < 0, хотя по смыслу эта величина не отрицательна, можно принимать a₁ = 0. Границы последующих интервалов вычисляются по зависимости a_i+1 = a_i + h до тех пор, пока начало последнего интервала не будет равным или большим X_max.

Для подсчета частот вариантов в интервал включаются варианты большие, чем нижняя граница (а для первого интервала включают и a₁) и меньшие или равные верхней границе интервала.

Для проведения расчетов рекомендуется таблица 1.2.

Таблица 1.2 – Интервальный ряд непрерывной случайной величины

№№ п/п	Границы интервалов		Середина интервала, xi	Частота, ni	Относительная частота, wi	Накопленная частота, Nni	Накопленная относительная частота, Nwi
	i	i+1

Для определения выборочных характеристик распределения (среднего арифметического , дисперсии D_в, среднего квадратического отклонения _в, коэффициента вариации V_в) необходимо воспользоваться методом произведения (методом условного нуля), а расчет вести в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Расчет условных моментов методом условного нуля

xi	ni	ui	ni·ui	ni·ui2	ni·(ui + 1)2	Условные моменты
						M1*	M2*
1	2	3	4	5	6	7

В первый столбец табл. 1.3 записывают выборочные варианты (значения середин интервалов), располагая их в возрастающем порядке. Во второй столбец записывают частоты вариант. Складывают эти частоты и их сумму (объем выборки n) помешают в нижнюю клетку столбца. В третий столбец табл. 1.3 записывают условные варианты . В качестве условного (ложного) нуля C выбирают варианту с наибольшей частотой. Практически третий столбец может быть заполнен так: в клетке строки, содержащей наибольшую частоту, записать 0; в клетках над нулем записать последовательно -1,-2, -3 и т. д., а под нулем записать 1, 2, 3, и т.д. В качестве условного нуля удобно принимать варианту, которая примерно находится в середине столбца (даже если эта варианта и не имеет наибольшей частоты).

Далее следует умножить частоты на условные варианты и записать их произведения n_i·u_i в четвертый столбец табл. 1.3. Сложив все полученные числа, их сумму  n_i·u_i необходимо поместить в нижнюю клетку столбца. Затем умножить частоты на квадраты условных вариант и записать их произведения n_i·u_i² в пятый столбец. Сложив все полученные числа, их сумму  n_i·u_i² поместить в нижнюю клетку столбца. Наконец частоты умножить на квадраты условных вариант, каждая из которых увеличена на единицу и записать произведения n_i·(u_i + 1)² в шестой столбец. Сложив все полученные числа, их сумму  n_i·(u_i + 1)² поместить в нижнюю клетку столбца.

Вычисление условных моментов первого и второго порядков произвести по формулам:

условный момент первого порядка: .

условный момент второго порядка: .

Перед вычислением моментов произвести контроль: если сумма  n_i·(u_i + 1)² окажется равной сумме  n_i·u_i² + 2· n_i·u_i + n, то вычисления проведены правильно.

Для расчета параметров выборки используются формулы:

среднее арифметическое: ;

дисперсия: ;

среднее квадратическое отклонение: ;

коэффициент вариации: .

Для построения гистограммы в системе XOY нужно по оси абсцисс отложить отрезки, изображающие интервалы значений варьирующего признака. На этих отрезках как на основаниях построить прямоугольники, высоты которых пропорциональны частотам , где П_ – плотность частоты.

В результате получится ступенчатая фигура в виде придвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам.

Для приближенной проверки гипотезы нормальности распределения статистической совокупности нужно найти асимметрию A_s и эксцесс E_k.

Распределение считается почти симметричным, если |A_s| < 0,1 и сильно асимметричным, если |A_s| > 0,5. Если A_s < 0, то пологая часть графика расположена левее, а крутая часть графика правее моды – наиболее часто повторяющегося значения случайной величины; если A_s > 0, то пологая часть графика расположена правее, а крутая часть графика левее моды.

Асимметрия вычисляется следующим образом: ,

где – центральный момент третьего порядка.

Эксцесс определяется по формуле: ,

где – центральный момент четвертого порядка.

Если E_k > 0, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем стандартная нормальная кривая; если E_k < 0, то кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину по сравнению со стандартной нормальной кривой.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении статистической совокупности следует воспользоваться критерием  ² ‑Пирсона, основанным на сравнении эмпирических и теоретических частот.

Теоретические частоты по каждому интервалу вычисляются с использованием зависимости:

,

где ;

– функция Гаусса, значения которой находят по табл. А.1 (приложения А).

Для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия ²‑Пирсона составляется расчетная табл. 1.4.

Таблица 1.4 – Расчет критерия ²‑Пирсона

i	xi	zi	(zi)		ni	ni– n′i	(ni– n′i)2

По таблице суммированием значений последней колонки вычисляется

.

По заданному уровню значимости  (обычно задаются уровнем значимости  = 0,05) и числу степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число групп (количество интервалов); r – число параметров выбранного распределения (для нормального распределения r = 2; таким образом, k = s – 3), с использованием специальных таблиц (прил. А) находят критическое значение критерия _кр²(, k).

Если в результате расчетов _набл.² ≤ _кр², то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины.

Если в результате расчетов _набл.² > _кр², то гипотезу о нормальном распределении случайной величины отвергают.