1.3 Оценка сверху для множества оптимальных решений в условиях отношения предпочтения, инвариантного относительно перенумерации критериев

Лексико-графическое отношение не является инвариантным относительно перенумерации критериев. Однако на практике встречаются задачи, в которых для ЛПР не важно, в каком порядке перечисляются компоненты у₁, у₂, ..., у_m оценки yR^m, а важны только числовые значения этих компонент.

Пусть имеется вектор . Множество векторов, которое состоит из у и всех векторов, получившихся из у перестановкой его компонент, обозначим через П(у). Это множество содержит m! элементов. Элементы множества П(у) обозначим .

Считаем, что отношение строгого предпочтения определено на множестве , оно асимметрично, транзитивно и удовлетворяет аксиоме Парето.

Отношение называется инвариантным относительно перенумерации критериев, если из соотношения у у' следует , .

Например, отношение на пространстве R^m не является инвариантным относительно перенумерации критериев: . Если для отношения существует функция ценности вида , то это отношение инвариантно относительно перенумерации критериев.

Будем считать, что отношение строгого предпочтения инвариантно относительно перенумерации критериев.

Введем понятие симметрического отношения.

Говорят, что на множестве задано симметрическое отношение , если соотношение у у' выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого верно неравенство .

Например, для m=2, точка у, для которой , принадлежит объединению двух заштрихованных углов, расположенных симметрично относительно биссектрисы координатного угла (рисунок 2).

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация симметрического отношения.

Симметрическое отношение транзитивно и асимметрично. Действительно, пусть , у^* у' => , для , . Переставим компоненты вектора у^* так, чтобы получился вектор . Аналогично переставим компоненты , чтобы получился . Тогда , то есть . Транзитивность установлена.

Симметрическое отношение иррефлексивно. Действительно, из выполнения следует , то есть сумма компонента вектора у больше суммы компонента вектора , а этого не может быть. Из транзитивности и иррефлексивности следует асимметричность.

Симметрическое отношение инвариантно относительно перенумерации критериев и удовлетворяет аксиоме Парето, то есть из следует .

Теорема. Справедливы соотношения:

, (72)

где – множество оптимальных оценок по отношению на множестве Y;

– множество парето-оптимальных оценок на множестве .

Доказательство:

Проверим включение из соотношения (72). Пусть . Предположим противное: для некоторого для некоторой перестановки . Отсюда, согласно аксиоме Парето, следует, что . Используя инвариантность отношения относительно перенумерации критериев, получаем . Это противоречит . Таким образом, .

Теперь докажем . Пусть .

Предположим противное: и такое, что . Переставляя компоненты векторов, входящих в это неравенство, получим , где . Противоречие. Справедливость обратного включения доказывается аналогично. ■

Таким образом, множество оптимальных оценок по отношению является оценкой сверху для множества оптимальных оценок.

В этом случае, если одна из оценок предпочтительнее другой, то и каждая оценка, полученная из первой перестановкой компонент, является более предпочтительной, чем оценка, образованная из второй оценки произвольной перестановкой компонент. Используя эти сведения, можно сузить множество парето-оптимальных оценок.