Тема: Методы сужения множества Парето и построения обобщенного критерия

1. Проблема сужения множества Парето

   1. Существование функции ценности

   2. Выбор решения при строго упорядоченных по важности критериях

1.3Оценка сверху для множества оптимальных решений в условиях отношения предпочтения, инвариантного относительно перенумерации критериев

2. Построение обобщенного критерия в многокритериальной задаче принятия решений

   1. Аддитивная свертка критериев

2.2 Мультипликативная свертка критериев

1. Проблема сужения множества Парето

Часто на практике множество P(Y) является достаточно широким, так что для ЛПР небезразлично, какую именно оценку выбрать из P(Y). Это объясняется тем, что отношение и хотя и связаны аксиомой Парето, однако не совпадают, то есть разница между множествами и P(Y) значительная и оценка сверху P(Y) требует уточнения. Такое уточнение или, как говорят, сужение множества парето-оптимальных оценок возможно лишь при использовании дополнительных сведений об отношении предпочтения .

1.1 Существование функции ценности Рассмотрим случай существования функции ценности. Пусть – некоторое асимметричное и транзитивное отношение строгого предпочтения на множестве оценок y Rm.

Определение: Числовую функцию Ф переменных у₁, у₂, …, у_m называют функцией ценности для отношения , если для произвольных векторов y, y'Y неравенство Ф(у)>Ф(у') имеет место тогда и только тогда, когда у у'.

Предположим, что отношение удовлетворяет аксиоме Парето. Поэтому если у у', то у у', следовательно, Ф(у)>Ф(у'). Поэтому функция ценности (если она существует) является возрастающей по отношению ≥.

Если Ф(у) – функция ценности для отношения и h – возрастающая функция одной переменной, то h[Ф(у)] также является функцией ценности. То есть функция ценности определяется с точностью до возрастающего преобразования h, в частности функция αФ(у)+a, где α>0 и aR является функцией ценности, если Ф – функция ценности.

По определению неразличимости ~ , отношение у~у' выполняется тогда и только тогда, когда не верно ни соотношение у у', ни соотношение у' у. Поэтому, если Ф(у)=Ф(у'), то не может быть ни Ф(у)>Ф(у'), ни Ф(у')>Ф(у), а значит верно соотношение у~у'. Верно и обратное, то есть из у~у' следует Ф(у)=Ф(у').

Используя функцию ценности, вопрос сравнения по предпочтительности векторных оценок у и у' можно свести к сравнению соответствующих чисел Ф(у) и Ф(у').

Если для отношения существует функция ценности ф, то , то есть отыскание оптимальной оценки сводится к решению однокритериальной задачи максимизации функции ф на множестве y.

Необходимым условием существования функции ценности является транзитивность отношения ~ (неразличимости). Это следует из определения функции ценности и транзитивности отношения равенства =.

Отношение на R^m порождает нетранзитивное отношение неразличимости, поэтому для отношения на R^m функции ценности не существует. Однако, в частных случаях, например, если множество Y конечно и имеет вид:

, функция ценности существует, например, . Следовательно, существование функции ценности зависит и от структуры множества Y.

Вопрос о построении функции ценности можно найти в книге П. Фишберна "Теория полезности для принятия решений" (М.: Наука, 1976).

1.2 Выбор решения при строго упорядоченных по важности критериях

Часто для ЛПР желательно получить как можно большее значение, например, критерия f₁, даже за счет «потерь» по остальным критериям, то есть критерий f₁ оказывается более важным, чем остальные. Возможен и случай, когда весь набор критериев f₁, f₂, ..., f_m строго упорядочен по важности.

Пусть имеется два вектора .

Определение: Лексико-графическое отношение определяется следующим образом: отношение имеет место тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1. y₁>y₁' (71)

2. y₁=y₁', y₂>y₂^/

…………………

m) ; , где .

Изменение нумерации критериев приводит к другому лексико-графическому отношению.

При m=1 лексико-графическое отношение совпадает с отношением > на подмножестве вещественных чисел.

Если , то говорят, что вектор y лексико-графически больше, чем вектор y'.

Геометрическая иллюстрация отношения приведена на рисунке 1.

◦

Рисунок 1 – Геометрическая иллюстрация лексико-графического отношения

Если ЛПР в качестве отношения строгого предпочтения использует лексико-графическое отношение, то это означает, что из пары оценок для него предпочтительнее та, первая компонента которой больше (независимо от соотношений между остальными компонентами). Если первые компоненты двух оценок одинаковы, то для ЛПР предпочтительнее оценка, имеющая большую вторую компоненту; остальные компоненты данной оценки могут при этом «значительно уступать» соответствующим компонентам второй оценки и так далее. В таких случаях говорят, что компоненты у₁, у₂, ..., у_m (то есть критерии f₁, f₂, ..., f_m) строго упорядочены по важности.

Изменение нумерации критериев приводит к другому лексико-графическому отношению.

Теорема. Отношение асимметрично, транзитивно и удовлетворяет аксиоме Парето.

Доказательство. Покажем транзитивность лексико-графического отношения.

Пусть и , причём для первого соотношения справедливо условие (71) с некоторым номером а для второго – условие (71) с некоторым номером .

Положим . Тогда для оценок y и y' выполнено условие из (71) с номером n. Следовательно, , транзитивность доказана.

Так как не может быть выполнено ни для какого y, то лексико-графическое отношение иррефлексивно. Произвольное транзитивное и иррефлексивное отношение всегда асимметрично. Следовательно, отношение асимметрично.

Если верно неравенство , то одно из условий (71) будет выполнено. Поэтому из выполнения , следовательно, , следовательно, лексико-графическое отношение удовлетворяет аксиоме Парето. ■

Пусть имеются векторы , следовательно, справедливо либо , либо . Если не выполнено ни одно из этих соотношений, то y=y'.

Лексико-графическое отношение на множестве оценок порождает отношение на множестве решений Х: тогда и только тогда, когда , где y=f(x), y'=f(x'). Очевидно, отношение также является асимметричным, транзитивным и удовлетворяет аксиоме Парето (в терминах решений).

Множество решений (оценок), оптимальных по отношению на множестве Х (соответственно Y), называется множеством лексико- графически оптимальных (или максимальных) решений (оценок) и обозначается (соответственно ).

Так как для любых двух векторов y, y' справедливо либо один лексико-графичекски больше другого, либо они равны, то множество , если оно не пусто, состоит из единственного элемента.

Следствие: Если множество Y состоит из конечного числа элементов, то лексико-графически оптимальная оценка существует и единственна.

Введем множества, определяемые рекуррентным способом:

– множество всех точек максимума первой компоненты вектор-функции f₁ на множестве Х,

– множество всех точек максимума f₂ – второй компонент вектор-функции f на множестве Х₂,

…………………………………………

.

Имеют место включения .

Теорема. Для того чтобы решение было лексико-графически оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть . Предположим противное <=> либо .

В первом случае найдется такое решение , что и , что противоречит оптимальности . Поэтому выполняется , следовательно, и либо . Рассуждая аналогично, получаем и так далее. Окончательно получаем . Полученное противоречие доказывает необходимость.

_{Достаточность.}

Рассмотрим решение и допустим противное: существует решение , для которого , следовательно, , где , . Пусть, согласно , выполняется k-условие из (33), . Тогда , а значит, в силу вложенности множеств имеем . Противоречие. ■

Следствие: Если все функции непрерывны на непустом компактном множестве то справедливо Ø.

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса (если множество не пусто и компактно, а функция f непрерывна на нём, то множество точек глобального минимума (максимума) не пусто и компактно) множество X₁ не пусто и компактно. Тогда таким же свойством обладает и множество X₂ и так далее до X_m-1. Множество Х_m не пусто в силу того, что X_m-1 не пусто и компактно, а функция f_m – непрерывна. Следовательно, по предыдущей теореме множество лексико-графически оптимальных решений также не пусто. ■

Доказанная теорема даёт следующий поэтапный метод нахождения лексико-графически оптимального решения. Сначала находят множество точек максимума функции f₁ на Х, то есть Х₁ . Далее на этом множестве максимизируют функцию f₂ и определяют множество X₂ и так далее до множества X_m-1 . Наконец, максимизируя f_m на X_m-1, находят лексико-графически оптимальное решение.

С точки зрения вычислений этот метод сложен, так как на каждом k- этапе (кроме последнего) нужно целиком строить множество Х_k. Удобнее для нахождения лексико-графически оптимального решения решать такую последовательность задач:

1) найти при условии ;

2) найти при условиях , ;

………………………………..

m-1) найти при условиях , ;

m) найти точку максимума функции при условиях , .