3.3.4. Примеры апробированных задач проектирования

Изложенные методы оптимизации и рекомендации по их применению успешно были использованы студентами при выполнении заданий, курсовых и дипломных проектов для решения следующих задач проектирования.

1. Прочность балки прямоугольного сечения, работающей на сжатие пропорциональна bh, а работающей на изгиб - пропорциональна bh², где b - ширина сечения балки, а h высота сечения. Как нужно изготовить прямоугольную балку из круглой заготовки радиуса R, чтобы ее прочность была максимальной: а) при сжатии и б) при изгибе.

2. Сконструировать цилиндрический резервуар таким образом, чтобы суммарная площадь металлических листов, необходимая для постройки, была наименьшей, а резервуар мог вмещать по крайней мере V м³ жидкости. Выбрать в качестве переменных проектирования диаметр резервуара D и его высоту H.

3. Спроектировать фрикционную муфту минимального веса при заданной толщине дисков b и допущении: отношение наружного диаметра диска D₁ к внутреннему D₂ равно 2. Оптимизируемыми параметрами являются: D₂ и число пар трущихся поверхностей Z.

4. Спроектировать оптимальную по весу винтовую пару (передача "винт - гайка") при ограничениях: контактного напряжения на поверхности витка и напряжения сжатия витка.

5. Приборный отсек ракеты должен содержать два вида приборов А и В, для монтажа которых используется элементы трех типов. На изготовление прибора А требуется затратить элементы каждого типа а₁=2шт., а₂=4 шт., а₃=4шт. соответственно, а для прибора В - b₁=6шт., b₂=2шт., b₃=1шт. Производство обеспечено элементами каждого типа в количестве р₁=258шт., р₂=256шт., р₃=208шт. Эффективность работы прибора А составляет a=6 (например, каналы связи), а прибора В - b=2. Составить план монтажа приборов А и В, обеспечивающий максимальную эффективность их работы.

6. На трех технических позициях А₁, А₂, А₃ находится однородный груз в количестве 100т, 190т, 160т. Этот груз нужно развести на пять стартовые позиции В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, потребности которых в данном грузе составляют 80т, 120т, 60т, 90т, 100т. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Значения тарифов следующие: C₁₁=7; C₁₂=4; C₁₃=3; C₁₄=8; C₁₅=15; C₂₁=20; C₂₂=16; C₂₃=7; C₂₄=14; C₂₅=13; C₃₁=12; C₃₂=9; C₃₃=10; C₃₄=6; C₃₅=10. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной.

7. Для арки, очерченной по параболе и нагруженной q, требуется определить относительную стрелу подъема, при которой объем материала арки минимален. Указание: воспользоваться соотношениями , где L-длина дуги, F=const, , .

Рис. 3.12. Расчетная схема.

8. Проектировать пружину, работающую на растяжение, с целью минимизации объема, занимаемого полностью сжатой пружиной, так чтобы основная резонансная частота колебаний определялась по формуле: ,

где G - модуль сдвига; N - число активных витков; D - средний диаметр спирали; d - диаметр проволоки.

Рис. 3.13. Схема редуктора.

9. Минимизировать габариты планетарно-цилиндрического редуктора, представленного на рисунке. В качестве целевой функции принять сумму межосевых расстояний цилиндрических ступеней редуктора: а1+а2, а ограничениями являются: на контактную прочность [s] н и на общее передаточное отношение U. Исходными данными являются: крутящий момент на входном валу редуктора Т1; коэффициент нагрузок К; коэффициент ширины зуба yа.

10. Прямоугольный, сохраняющий тепло, элемент l, ширины b и высоты h может использоваться для того, чтобы запасать тепловую энергию. Коэффициенты потерь тепла  из-за конвекции h_c и из-за излучения h_г задаются соотношениями:

h_c=k_cF(T-T_н) и h_г=k_гF(T⁴-Т⁴_н),

где   - константы, Т-температура сохраняющего элемента, F- площадь поверхности, Т_н-температура окружающей среды.

Тепловая энергия, запасаемая элементом, находится из выражения:

где k-константа, V-объем элемента.

Элемент в состоянии запасти по крайней мере Q^' единиц энергии. Условия размещения ограничивают размеры элемента:

0 £ l £ l^' ; 0 £ b £ b^' ; 0 £ h £ h^'.

a) Определить размеры l, b, h такие, при которых потери тепла минимальны.

b) Предположим, что константы k_c и k_г являются линейными функциями от t - толщины изоляции. Определить размеры элемента, при которых издержки на изоляцию минимальны.

Рис. 3.14. Схема фермы.

11. Во время эксплуатации фермы существует вероятность выхода из строя элемента 1. Заданными являются: материал, из которого сделаны элементы; допустимые значения узловых смещений; нижнее и верхнее допустимые значения собственных частот целой и повреждений конструкции; нагрузка; параметры S и l.

Требуется выбрать площади поперечного сечения 1,2, и 3, которые минимизируют вес конструкции.

Приведенные примеры показывают, что методы оптимизации могут эффективно применяться не только для расчетов на прочность при проектировании элементов РК, но и для решения, например, вопросов их надежности, анализа теплообмена, а также эксплуатационных и производственных задач.