3.2. Анализ возможности применения метода геометрического программирования

Примеры, представленные выше, показывают, что метод геометрического программирования может быть отнесен к разряду аналитических, хотя и требует решения системы нескольких нелинейных уравнений при степени трудности, отличной от нуля. Это позволяет использовать полученные ММ и выражения для оптимизируемых параметров для широкого круга задач. Однако опыт проектирования показывает, что данный метод, к сожалению, не всегда целесообразен, поскольку иногда степень трудности слишком велика или задача сводится к анализу сигномов по обобщенному геометрического программированию, который к настоящему времени не получил достаточного практического развития. Кроме того, при составлении ММ и ее решении может возникнуть ситуация, при которой требования алгоритма не выполняются. Следовательно, в этом случае необходимо пересмотреть вид ЦФ и/или ограничений. Тем не менее, следующие примеры иллюстрируют подходы для применения метода геометрического программирования.

3.2.1. Двухопорная цапфа

Маховик веса W, установленный на оси диаметра D. поддерживается двухопорной цапфой, изображенной на рис. 3.5. Требуется определить L и D таким образом, чтобы минимизировать момент трения вращающейся оси при допустимом зазоре на смазку.

Рис. 3.5. Конструктивная схема.

Момент трения для двух опор вычисляется по формуле: , где k1 - константа, зависящая от вязкости применяемого масла; w - угловая скорость вращения;

e - эксцентриситет конструкции, определяемый как ,

где 0 < e < , а   - верхний предел эксцентриситета конструкции;

h₀ - наименьшая толщина масляного покрытия при установившемся режиме работы механизма.

Ограничения на h₀ налагаются следующими неравенствами :

        ,

где   - минимальная толщина масляного покрытия.

Угол кручения оси q должен быть не больше заданного q_мах, а его величина определяется по формуле:

,

где k₂ - константа, зависящая от точки приложения вращающего момента на оси.

Вес маховика W и нагрузки на опоры С должны быть связаны неравенством:

2С ≥ W.

Из гидродинамических соображений безопасная нагрузка на опоры определяется соотношением:

,

где  .

Таким образом, при заданных величинах q_мах найти такие параметры D, L, h₀, чтобы минимизировать момент трения. Неизвестные обозначим следующим образом: x₁ = D, x₂ = L, x₃ = h₀. Поэтому модель оптимизации имеет вид:

целевая функция - ,

ограничения: 1) (1 - ē) δx₃^-1<1,

2) 1/(Q_maxk₂)x₁^-1<1,

3) 2/ δ x₄^-1 x₃ - 2/ δ² x₄^-1 x₃²<1,

4) 2 k₁ωπW/ δ² x₁^-1 x₂^-3 - 2 k₁ωπW / δ³ x₁^-1 x₂^-3 x₃^-1<1.

Определим степень трудности данной оптимизационной задачи:

d = n - m - 1,

где n = 7 - количество позиномов, входящих, как в целевую функцию, так и в ограничения; m = 4 - количество неизвестных; поэтому:

d = 7 -4 - 1 = 2.

Составим систему уравнений, первое из которых является условием нормализации, а остальные - ортогональности:

δ₁ = 1

3δ₁ - δ₃ - δ₆ - δ₇ = 0

δ₁ -3 δ₆ -3 δ₇ = 0

-δ₂ + δ₄ + 2 δ₅ - δ₇ = 0

-0,5 δ₁ - δ₄ - δ₅ = 0

Введем базисные переменные r₁ = δ₅, r₂ = δ₂; тогда:

δ₁ = 1

δ₂ = r₂

δ₃ = 8/3

δ₄ = -1-r₁ - r₂

δ₅ = 0,5 + r₁ + r₂

δ₆ = 1/3 - r₁

δ₇ = r₁

Решая систему нелинейных уравнений равновесия

(-1 - r₁ - r₂)^-1 r₁(-1/5 - 2r₁ -2 r₂)² (1/3 - 2 r₁)² (0,5 + r₁ + r₂) (1/3 - r₁)^-1 = 1/2δ² и

(-1 - r₁ - r₂)^-1 (-1/5 - 2r₁ -2 r₂)² (0,5 + r₁ + r₂) = (1- ē )/2, 

найдем r_1, r₂. Подставляя найденные значения базисных переменных, можно определить значения двойственных переменных, по которым определяется значение двойственной функции V(δ).

Анализ представленной ММ показывает, что данная задача относится к обобщенному математическому программированию, поэтому значение двойственной функции не является оценкой значения ЦФ. В связи с этим, решение прямой задачи заключается в поиске стационарных точек двойственной задачи.

Следует отметить, что для решения обобщенных задач геометрического программирования разработано два типа методов: последовательные методы, использующие ряд аппроксимационных задач с помощью метода конденсации, и методы непосредственного решения в одном из эквивалентных видов, к которым относятся, например, экспоненциальный и дробно - геометрический с ограничениями в виде неравенств разных знаков.