3.1.6. Подшипник скольжения

Рис. 3.4. Подшипник скольжения.

При проектировании высоконагруженных подшипников скольжения, представленного на рис. 3.4, в качестве ЦФ принимается взвешенная сумма интенсивности изнашивания цапфы и прогиба вала: , где а1, и а2 - весовые коэффициенты, Δ -интенсивность изнашивания цапфы; У0 - прогиб вала в подшипнике.

Величина Δ находится из выражения:

где v - износ цапфы на единицу мощности, затрачиваемой на трение;

f - коэффициент трения;

F - радиальная сила, действующая на подшипник;

 - радиус подшипника;

ω- угловая скорость вала.

Коэффициент трения определяется по формуле:

где ψ - относительный зазор;

ε - относительный эксцентриситет;

.

 

Прогиб вала в подшипнике находится из выражения:

где Е - модуль продольной упругости материала вала.

На оптимизируемые параметры накладывается ограничение:

где   - среднее давление на подшипник;

 - допустимое давление.

Задача состоит в том, чтобы методом геометрического программирования определить параметры оптимального подшипника скольжения, приняв следующую модель оптимизации:

Степень трудности этой задачи d = 4-(2+1) = 1.

Двойственная функция V(d) = (C₁/d₁)^d1 (C₂/d₂)^d2 (C₃/d₃)^d3 C₄^d4

При двойственных ограничениях 0 £ d₁, 0 £ d₂  0 £ d₃ , 0 £ d₄  система уравнений, состоящая из условий нормализации и ортогональности, имеет вид:

d₁+d₂+d₃ = 1;

d₁+3d₂-4d₃ - d₄ = 0;

-2d₂+3d₃ -d₄ = 0.

Приняв d₃ = r, получим: d₁ = 5/4 - r; d₂ = -1/4 + 2r; d₄ = 0,5 - r.

Уравнение равновесия для данной задачи после подстановки выражений для d_i имеет вид:

4(5-12r)^-3 (8r-1)² r = C₂² C₃/ (C₁³ C₄),

где ;

;

;               .

После определения правой части уравнения по заданным исходным данным решается нелинейное уравнение относительно r , а затем вычисляются значения двойственных переменных, что позволяет найти величины оптимизируемых параметров и ЦФ.

3.1.7. Червячно-цилиндрический редуктор

В задаче определения оптимальных значений параметров червячно-цилиндрического редуктора в качестве ЦФ принята суммарная стоимость с материалов обеих ступеней:

где К₁´- весовой коэффициент, учитывающий стоимость единицы массы червячного колеса и червяка; К₂´- весовой коэффициент, учитывающий стоимость единицы массы колес цилиндрической ступени редуктора; т₁₂ - масса червячного колеса; т₂₁ и т₂₂ - масса соответственно ведущего и ведомого колеса цилиндрической ступени.

В червячной ступени стоимость червяка учитывают при определении весового коэффициента червячного колеса, обод которого в большинстве случаев изготовляют из дефицитных материалов с антифрикционными свойствами.

При введении коэффициента f = К₁´/ К₂´ параметр К определяется по формуле:

Масса каждого колеса находится из выражения:

где n- индекс ступени; m - индекс колеса; р - плотность материала колеса; В - ширена колеса; d - диаметр делительной окружности колеса.

Конструктивные параметры определяются по формулам:

B₁=y_dd₁₁ ,      d₁₂=z₁₂m_s1 , z₁₂=u₁z₁₁,    d₁₁=qm_s1 ,

где В₁ - ширина червячного колеса; y_d - коэффициент ширины; d₁₁ - диаметр червяка; d₁₂ - диаметр делительной окружности червячного колеса; u₁ - передаточное число червячной ступени; z₁₁ - число заходов червяка; z₁₁ - число зубьев червячного колеса; g - относительная толщена червяка; m_s1 - осевой модуль зацепления.

Обозначив:  а также учитывая В₂ = y_aa₂ и d₂₂ = u₂d₂₁ , первое слагаемое ЦФ имеет вид:

,

а сумма второго и третьего слагаемых:

где ρ₁ - плотность материала колес цилиндрической ступени; y_а - коэффициент ширины зуба; d₂₁ и d₂₂ - диаметр делительной окружности соответственно ведущего и ведомого колеса цилиндрической ступени; а₂ - межосевое расстояние цилиндрической ступени; и₂ - передаточное число цилиндрической ступени.

Из расчёта цилиндрической зубчатой передачи на контактную прочность можно записать:

где е₂ = 340·10³  ; s_НР2 - допустимое контактное напряжение материала зубьев шестерни цилиндрической ступени; Т₂₁ - крутящий момент на ведущем валу цилиндрической ступени редуктора; К₂ - коэффициент нагрузки.

Момент на ведущем валу определяется по формуле:

Т₂₁ = и₁h₁Т₁₁,

где Т₁₁ - крутящий момент на ведущем валу редуктора; h₁ - КПД первой ступени передачи.

Следовательно, сумма масс колеса и шестерни передачи находится из выражения:

Итак, ЦФ имеет вид:

где

В качестве ограничений на параметры оптимизации и₁, и₂, t и а₂ примем ограничения на контактные напряжения, возникающих в зацеплениях червячной и цилиндрической передач, и на общее передаточное число и:

Так как d₂₁ = 2а₂/(1+ и₂), то, обозначив:

С₇ = и,

получим следующие нелинейные ограничения в виде неравенств:

Таким образом, задача оптимизации двухступенчатого червячно-цилиндрического редуктора сведена к решению задачи геометрического программирования со степенью трудности задачи:

d = 7 - (4 + 1) = 2.

Соответствующая этой задаче двойственная программа состоит в максимизации двойственной функции:

где   i = 1,2, . . . , 7;   

       k = 1, 2, 3. 

В этих выражениях:

Условия неотрицательности на вектор r:

  i = 1,2, . . . , 7.

Базисные постоянные находяися из выражения:

  С_i > 0 - коэффициенты, зависящие от исходных данных.

Вектор нормализации b⁽⁰⁾ удовлетворяет условию соответственно нормализации и ортогональности:

         j = 1, 2, 3, 4.

Векторы невязки b^(j) (j = 1, 2) образуют базис пространства решений однородной линейной системы:

       j = 1, 2, 3, 4.

где а_ij - матрица экспонент исходной задачи геометрического программирования.

Векторы b⁽⁰⁾, b⁽¹⁾ и b⁽²⁾, найденные в результате преобразований матрицы экспонент по методу Бранда, имеют вид:

     

Несложно проверить, что полученные векторы нормализации и невязки удовлетворяют необходимым условиям.

Следовательно, двойственные переменные находятся по формулам:

d₁ = 1 - r₁ - r₂;

d₂ = -0,5 + r₁ + 0,5r₂;

d₃ = 0,5 + 0,5r₂;

d₄ = 2 - 2r₁ - 2r₂;

d₅ = r₁;

d₆ = r₂; d₇ = 1.

Значения r₁ и r₂, максимизирующие двойственную функцию, определяются из решения системы:  

где базисные постоянные находятся по формулам:

После определения максимизирующих значений r₁ и r₂ максимальное значение двойственной функции можно найти из выражения

Это значение определяет одновременно и минимум ЦФ.

Оптимальные значения u₁, u₂, t и a₂ находятся из решения системы уравнений:

Решив эту систему, получим формулы для вычисления оптимизируемых параметров:

     

Следует отметить, что аналогичный подход можно применить для многоступенчатых редукторов и других типов, когда из рекомендуемого диапозона передаточных чисел необходимо выбрать единственное решение, минимизирующее ЦФ.