2.8.3. Решение задач гп с ненулевой степенью трудности
Для получения однозначного решения необходимо рассмотреть би-двойственную функцию:
,
(2-19)
которая обладает замечательным свойством,
состоящим в том, что она не зависит от
направления нормализованного вектора
δ в двойственном пространстве. В
дальнейшем это свойство используется
для получения единственного направления
вектора δ*. При этом решение 
должно
быть заменено выражением вида:
.
Последнее соотношение не зависит от двойственного вектора δ, поскольку последний лежит на гиперплоскости нормализации. Пусть δ' и δ" - два каких-либо двойственных вектора. Поэтому можно записать следующие выражения:
Разделив первое уравнение на второе, получим:
1 = (δ* | δ'''),
где δ''' = δ' - δ''.
Так как векторы δ' и δ" лежат на гиперплоскости нормализации, их разность δ"' представляет собой вектор невязки. Учитывая, что имеется d независимых векторов невязки, получаем следующие d независимых уравнений:
1 = V(δ* | b(s)), s = l,...,d. (2-20)
Теперь V* содержит d неизвестных, а именно d базисных переменных rs:
,
поэтому уравнений (2-20) достаточно для того, чтобы полностью определить базисные переменные.
При решении практических задач в формуле (2-20) удобно разделить известные постоянные и неизвестные базисные переменные. С этой целью, используя формулу (2-19), перепишем соотношение (2-20) в виде:
.
Эти уравнения имеют такой же вид, что и уравнения равновесия в химии, поэтому называются уравнениями равновесия. Например, для задачи, представленной в разд. 2.7.2, можно записать:
,
что дает единственное уравнение равновесия:
.
После преобразований можно записать:
.
Данное уравнение равновесия может быть непосредственно решено относительно r:
Если целевая функция является более сложной, например:
то соответствующее уравнение равновесия имеет вид
,
которое необходимо решить численно.
Следовательно, метод ГП можно отнести к классу аналитических при нулевой степени трудности, а при d > 0 необходимо решать одно или несколько нелинейных уравнений, что является относительно простой задачей при современном уровне вычислительной техники, поэтому ГП должно найти широкое применение при проектировании элементов и агрегатов, а также РК в целом.
3. Оптимальное проектирование ракетных комплексов
3.1. Расчет элементов и узлов технических систем
3.1.1. Ферменная конструкция
l
|
Для минимизации
веса кронштейна, изображенного на
рис. 3.1, ЦФ является объём материала
кронштейна f(F1,
F2,,
α), который
находится по формуле:
где F1, F2 - площади поперечного сечения стержней. |
,
Рис. 3.1. Расчетная схема.
Методом множителей Лагранжа требуется определить значение угла α, минимизирующее суммарный объём двух стержней, удовлетворяющих условиям прочности.
В соответствии со схемой нагружения усилия в стержнях определяются из следующих выражений:
, 
,
Из условия равнопрочности:
площади
поперечных сечений стержней находятся
по формулам:
Следовательно, ограничения записываются в виде:
,
а функция Лагранжа определяется из выражения:
.
В соответствии с методом множителей Лагранжа расчетная система уравнений пяти уравнений с пятью неизвестными имеет вид:
После выражения всех неизвестных через угол α первое уравнение системы имеет вид:
поэтому, 
следовательно,
т.е.
