2.8. Геометрическое программирование
2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы
Отсутствие универсального метода решения общей задачи нелинейного программирования послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. К таким методам относится и метод геометрического программирования, возникший и получивший развитие в связи с задачами инженерного проектирования.
Основное требование метода геометрического программирования состоит в том, чтобы и целевая функция, и ограничения были выражены в виде так называемых позиномов, имеющих вид:
(2-6)
где 
-
произвольные вещественные числа.
Анализ известных формул расчета деталей машин, а также всевозможных условий прочности, жесткости, устойчивости и др., показывает, что большая часть из них выражается зависимостями вида (2-6). Именно это обстоятельство позволяет считать метод геометрического программирования удачным для решения задач оптимального проектирования объектов машиностроения.
По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое программирование имеет следующие преимущества:
позволяет выявить достаточно полную картину сравнительной значимости проекта и отдельных слагаемых частей целевой функции;
минимальное значение целевой функции находится до определения оптимальных значений параметров;
исходная задача с нелинейными целевой функцией и ограничениями сводится к двойственной задаче с нелинейной целевой функцией, но линейными ограничениями, решить которую легче, чем исходную задачу;
имеется возможность количественной оценки степени трудности решаемой задачи;
для реализации метода с применением ЭВМ можно разработать универсальный программный комплекс.
В общем случае исходную задачу
геометрического программирования
формулируют следующим образом - найти
минимальное значение целевой функции
f(x) при ограничениях 
, причем f(x) и левые части ограничений
являются позиномами (2-6).
Одна из важнейших характеристик - степень трудности решаемой исходной задачи геометрического программирования определяют из выражения:
d = n-(m+1),
где n- общее число слагаемых членов во всех позиномах (целевой функции и ограничениях); т-число оптимизируемых параметров.
Степень трудности решаемой задачи характеризуется:
- при d = 0 - сложностью решения системы n линейных уравнений;
- при d = 1 - сложностью решения одного нелинейного и системы n линейных уравнений;
- при d> 0 - сложностью решения системы d нелинейных алгебраических уравнений и n линейных уравнений.
Подход к оптимизации позиномиальных функций основан на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического. Использование неравенства для средних привело к появлению термина геометрического программирования.
Проиллюстрируем метод геометрического программирования (ГП) в случае линейных ограничений
Неравенство для средних позволяет
заключить, что для произвольных
положительных чисел 
и
таких чисел
,
что
имеет
место соотношение
,
(2-7)
причем равенство достигается в случае
.
Полагая
,
можно переписать выражение (2-7) для любых
величин 
и
,
,
.
Неравенство обращается в равенство
только тогда, когда
.
Пусть
.
Тогда ЦФ f(x) =
.
Следовательно,
.
Неравенство имеет место при любых
,
таких, что
.
Предположим, что имеет место соотношение:
.
Тогда неравенство сводится к системе
соотношений: 
для
всех
при
и
.
Поскольку неравенство может
обращаться в равенство, можно получить:
,где δi
удовлетворяет указанным соотношениям.
Рассмотрим следующую прямую задачу геометрического программирования.
Минимизировать 
при
ограничениях
.
Двойственная задача имеет следующий
вид.
максимизировать 
при
ограничениях:
1.
,
система неравенств называется условием
неотрицательности;
2.
,
данное уравнение называется условием
нормализации; следует учесть в дальнейшем,
что оно составляется только для позиномов,
входящих в ЦФ;
3.
,
указанная система уравнений называется
условием ортогональности и составляется
для всех позиномов; причем коэффициенты
-
вещественные числа, элементы матрицы
экспонент (или показателей) исходной
задачи.
Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами. Наличие оптимального решения в двойственной задаче представляет собой достаточное условие существования оптимума в прямой задаче.
Для соответствующих оптимумов:
.
Прямое и двойственное оптимальные решения связаны соотношением:
или
.
Допустимое решение двойственной задачи дает нижнюю границу оптимального значения ЦФ. В случае ограничений, представленных позиномами, задача усложняется, однако подход остается аналогичным.