2.6. Оптимальное проектирование системы с распределенными параметрами

В различных технических задачах целью является выбор формы элемента конструкции. Типичными, например, являются задачи отыскания распределений толщин для силовых балок и пластин переменной формы. В этих случаях для определения формы проектируемого объекта требуется найти бесконечное число параметров. Следовательно, целью оптимизации является выбор функции формы, отвечающий оптимальному проекту элемента конструкции.

Ситуация, в которой определяется управляющая функция, во многом сходна с проблемами, возникающими в теории оптимального управления. Однако имеется существенное различие между вопросами оптимального проектирования механических систем и теорией оптимального управления, которое заключается в том, что в теории оптимального управления функция управления зависит от времени и ищется управляющий закон, гарантирующий оптимальное поведение системы в процессе ее работы. При оптимальном же проектировании механических систем управляющая функция зависит только от пространственных переменных и не изменяется в течение всего времени своего существования.

Второе важное отличие между оптимальным проектированием и управлением заключается в том, что в теории оптимального управления формулируются задачи с начальными условиями. При оптимальном же проектировании механических систем часто требуется решать задачи с граничными условиями и находить распределение деформаций и напряжений в упругом теле.

Следует отметить, что термин "распределенный параметр" трактуется для обозначения управляющей функции в одно-, двух- и трехмерном пространствах. При этом в случае одной изменяемой пространственной переменной исходная граничная задача описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Задачи с двумя и тремя пространственными переменными включают уравнения с частными производными. В литературе же по оптимальному управлению исходную задачу рассматривают как задачу с распределенными параметрами только в случае уравнений с частными производными.

2.6.1. Вариационное исчисление

В ряде задач для описания геометрических характеристик непрерывно изменяющихся поперечных сечений элемента конструкции механической системы требуется введение функций, задающих форму элемента. Для определения характерных свойств данного класса задач рассмотрим сначала два типичных примера.

x Рис. 2.1. Пример 1.

Пример 1.Требуется найти кратчайшую кривую между двумя точками (x0,z0) и (x1, z1) на плоскости X и Z. Любой кривой, соединяющей две заданные точки, сопоставляется ее длина. Задача состоит в том, чтобы выбрать кривую z(x), имеющую наименьшую длину. Для кривой z(x) длина определяется выражением:

f(x)=∫ (1+( )²)^0,5dx.

Пример 2. В вертикальной плоскости заданы две точки (x₀, z₀) и (x₁,z₁), не лежащие на одной вертикальной прямой.  Требуется найти соединяющую эти точки кривую, вдоль которой материальная точка, находившаяся в состоянии покоя в (x₀,z₀), будет скользить без трения в точку (x₁,z₁) за наименьшее время.

Пусть m - масса материальной точки, g - ускорение свободного падения. Так как тело начинает движение из состояния покоя (x₀,z₀), а трение отсутствует, то можно записать уравнение энергии в следующем виде:

mV²=mg(z-z₀),

где V - скорость, определяемая по формуле:

V=(( )²+( )²)^0.5=(1+( )²)^0.5 ,

t- время движения материальной точки.

После преобразований представленных уравнений можно получить:

dt=(1+( )²)^0.5dx .

Следовательно, полное время t, необходимое для перемещения из (x₀,z₀) в (x₁,z₁), равно:

.

Данное выражение показывает, что t зависит от вида всей кривой, по которой скользит материальная точка. Такая задача сводится к нахождению кривой z(x), называемой брахистохроной.

Из приведенных примеров видно, что функция, описывающая кривую, должна определяться из решения оптимизационной задачи. Кроме того, значения минимизируемых величин определяется функциями, задающими указанные кривые. Поэтому рассматриваемые величины являются функциями от функций. Они называются функционалами. Типичным функционалом, встречающимся в вариационном исчислении, является интеграл.

Итак, оптимизационная задача ставится следующим образом: найти в классе функций, интегрируемых вместе с квадратом производных и удовлетворяющих граничным условиям, такую функцию z(x) при x₀ x  x_1, которая минимизирует функционал f(x).

Приведенное обсуждение примеров 1 и 2 позволяет сформулировать основную задачу вариационного исчисления для более широкого класса задач. Найти дважды непрерывно дифференцируемую на интервале x₀  x  x₁ функцию z(x), удовлетворяющую граничным условиям:

z_i (x₀)=z_i⁰  для некоторых  1  i  n,

z_j(x₁)=z_j¹   для некоторых 1  j n и минимизирующую функционал:

f(z)= ,

где F - дважды непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам действительнозначная функция, а z'=[ ].

Указанные выше граничные условия означают, что кривые в примерах 1 и 2 проходят через заданные точки.