§5. Машина Тьюринга.
Понятие конечного автомата возникло из близкого понятия, введенного в 1936 г. логиком Тьюрингом. Тьюринг рассмотрел гипотетическую машину, имеющую конечное множество внутренних состояний и одну бесконечную ленту, разделенную на ячейки, которые машина может передвигать вправо или влево на одну ячейку за такт. В каждой ячейке машина может записывать символ из конечного алфавита . Первоначально лента должна быть пустой, кроме конечного числа ячеек, заполненных заранее. (Эти заранее заполненные ячейки можно представлять программой запуска машины).
Особенности машины Тьюринга, отличающие ее от конечного автомата, состоят в следующем:
1) лента машины Тьюринга бесконечна;
2) машина Тьюринга может двигаться вдоль ленты в любом направлении.
Таким образом, машина Тьюринга имеет потенциально бесконечную память, которой она пользуется в ходе вычислений. Кроме того, каждую ячейку машина может просматривать многократно.
Формальное определение машины Тьюринга следующее.
Определение
1: Машина
Тьюринга
–
это пять объектов
,
из которых:
1)
-
есть
конечный алфавит символов, которые
могут быть записаны в ячейках и являются
одновременно входными и выходными:
;
2)
- есть конечное множество внутренних
состояний,
;
3)
-функция перехода в новое состояние,
она действует из
в
;
4)
- функция выхода,
;
5)
- функция, регулирующая движение ленты,
она действует из
во множество
.
Машина Тьюринга работает по определенным тактам следующим образом. Она начинает работать, находясь в начальном состоянии . После считывания первого символа последовательности из ячейки машина переходит в новое внутреннее состояние, определяемое функцией . Затем записывает в ячейке новый символ, являющийся значением функции , перемещает ленту вправо (П) или влево (Л), или остается на месте и прекращает работу (останов.) в зависимости от значения функции .
Таким образом, работа машины состоит в повторении следующего цикла: считывания символа из ячейки, переход в новое внутреннее состояние, впечатывание нового символа в эту ячейку, выбор которого определяет функция (может оказаться, что это тот же самый символ), сдвиг ленты вправо или влево, либо остановка. Лента бесконечна в обоих направлениях, однако вначале (и, значит, после любого такта) заполнено лишь конечное число ячеек.
Алфавит
машины Тьюринга обычно состоит из
символов
.
Символ # служит для обозначения пустых
ячеек, символы
необходимы для записи чисел. Для того
чтобы записать на ленте ненулевое число,
нужно в ячейки вписать столько единиц,
какова величина числа. Ноль служит для
записи одноименного числа, а также
выступает в качестве разделителя между
числами. Но некоторых задачах алфавит
может быть произвольным.
Пример. Машина Тьюринга дана следующим описанием. Она считывает входную последовательность, состоящую из нулей и единиц, печатает символ Ч, если число считанных единиц четное и Н, если нечетное. Строке из нулей и единиц предшествует и последуют пустые ячейки, обозначаемые символом #. Символы Ч и Н печатаются в первой пустой ячейки вслед за входной строкой.
Решение:
Таким образом, алфавит имеет вид:
.
Множество внутренних состояний:
,
где
- начальное состояние,
- число считанных единиц четно,
- число прочитанных единиц нечетно. Так
задаются множества. Функции можно задать
следующим образом:
Остановка машины происходит после того, как будут выданы нужные результаты.
Функции
удобно рассматривать, пользуясь
обозначениями Тьюринга. В этом случае
машина Тьюринга описывается множеством
строк следующего вида:
.
В каждой такой строке каждый символ
определяет один из пяти тактов работы
машины:
- текущее состояние машины;
- считываемый из ячейки символ;
- следующее состояние машины,
;
- символ, печатаемый в ячейке,
;
- одна из команд:
.
Набор строк подобного вида называют программой работы машины Тьюринга.
В этих обозначениях описанная выше машина задается так:
,
,
,
,
,
,
,
,
Программы работы машины Тьюринга содержат все известные алгоритмические моменты (циклы, ветвления).
Следующий несложный результат показывает, что машины Тьюринга умеют делать все, что умеют конечные автоматы.
Теорема:
Пусть
- конечный автомат. Пусть
и определены основные функции для всех
:
,
,
Тогда
машина Тьюринга
ставит в соответствие входным строкам
те же выходные строки, что и автомат
.
Доказательство:
Любую входную строку
автомата
можно записать на ленте машины
так, чтобы входной символ
был записан в
-й
ячейке. Описанная выше машина Тьюринга
напечатает на выходе символ
в
-й
ячейке, перейдет в состояние
и передвинется в
-ю
ячейку. Добравшись до
-й
ячейки, она остановится.
Замечание:
Если входной алфавит
конечного автомата
содержит пробел, он должен обозначатся
специальным символом в алфавите
,
чтобы избежать неоднозначности. Значения
функций
,
мы не определили, ибо для нас они
безразличны. Мы получили не полностью
описанные автоматы с безразличными
состояниями.
Машины
Тьюринга обладают большими возможностями,
чем конечные автоматы. Можно, например,
описать машины Тьюринга, вычисляющие
разные функции от чисел, подаваемых на
вход. Стандартным представлением
неотрицательного числа
в машине Тьюринга является последовательность
из
единиц, стоящих подряд. Два таких числа
отделяются нулем. Например, строка
##111011## представляет упорядоченную пару
чисел (3,2). Строка ##110111101## представляет
собой последовательность чисел (2, 4, 1).
Пример: Следующая машина Тьюринга складывает два неотрицательных целых числа, поданных на вход:
,
,
,
,
,
,
,
Машина превращает две последовательности единиц, разделенные нулем, в последовательность единиц, представляющую число, равное сумме чисел на входе. Можно описать машину Тьюринга, способную сложить три целых числа, четыре целых числа или любое число, даже неограниченное наперед целых чисел.