6. Теор.Пуассона.Локальная и интегр. Теор.Муавра-Лапласа.

Т. Пуассона. Если вер-ть р появл.события А в каждом испыт.при неогранич. возраст. числа испыт. n измен. т.о., что np=a=const,то вер-ть того,что нек. событие А появ.=k раз в n независ. испыт.наход.по формуле .

Док-во: По ф-ле Бернулли вер-ть того, что событие появ.=k раз в n независ. испыт.

Переходя к пределу при n→∞, получим:

Замеч.Теоремой удобно пользоваться, когда р→0, a=n·p≤10.

Т.(локальная т. Муавра-Лапласа).Если вер-ть появл. события А в каждом отдельном испыт. пост. и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вер-ть того, что событие А появ.= k раз в n незав. испытаниях. Наход. по формуле , где ; , q=1-p.

Теорема(интегр.т.Муавра-Лапласа).Если вер-ть появл. события А в каждом отдельном испыт. постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0<p<1, то вер-ть того, что событие А появ. от k₁ до k₂ раз в n независ. испыт. опред. по формуле: P_n(k₁,k₂)≈Ф(x₂)-Ф(x₁), где ; ;

—ф-ия Лапласа.

Замеч.Ф-ия Лапласа явл.нечетной ф-ей,т.е. Ф(-х)=-Ф(х),при х≥5, Ф(х)=0,5

2.Свойства вероятности.

1. Вер-ть невозможн. события=0, т.е. P( )=0. P( )= .

2.Вер-ть достоверн/ события равна =1, т.е. Р(Ω)=1. Р(Ω)= =1.

3.Для люб. события А:0≤Р(А)≤1. 0≤N(A)≤N(Ω);

4.(обобщ. теорема сложения вер-ей).Вер-ть суммы объединения (PUB)=P(A)+P(B)-P(A-B);

(PUB)= =P(A)+P(B)-P(AB)

5.Если события А и В несовмест., то вер-ть суммы =сумме вер-ей:

P(A+B)=P(A)+P(B) Св-во 5 следует из 4

6.(теор. слож. k слагаемых).Если события А₁, А₂,…, А_k попарно несовмес., то вер-ти их суммы=сумме вер-ей этих событий.

.

7. Если событие А влечет событие В, то P(А)≤P(B).

, тогда .

8. Если событие А влечет событие В, то P(B\A)=P(B)-P(A).

9.Вер-ть события противоп. событию А,т.е.наход. по P =1-P(A).

, .

10.Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образ.полную группу, то сумма вер-ей этих событий=1,т.е. P(H₁)+P(H₂)+…+P(H_n)=1.

По опред.события образ.полную группу Ω= Н₁+Н₂₊…+Н_n

Р(Ω)=Р( Н₁+Н₂₊…+Н_n)=Р(H₁)+P(H₂)+…+P(H_n)=1.

3. Условная вер-ть. Независимость.

Усл. вер-тью события B при усл. A наз. вер-ть события B в предположении, что событие A наступило. Обозн.P(B|A)=P_A=(B)= ..

Теорема (умножение вер-ей):Вер-ть произвед.2х событий=произвед.вер-ти одного из событий на вер-ть другого события при усл. 1го

P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(Q|B).

Док-во следует из усл.опред усл.вер-ти

Теорема (обобщ. т. умнож.). P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)·P(A₂ |A₁)· P(A₃|A₁ A₂)· ·…· P(A_n|A₁ A₂…A_n-1).

События А и В наз. независимыми, если вер-ть их произвед.=произвед.их вер-ей. P(AB)=P(A) P(B).

Теорема.События А и В независимы тогда когда P(B/A)=P(B).

Док-во:Пусть события Аи B независимы.По опред.в этом случае Р(АВ)=Р(А)·Р(В).Нужно док-ть,что P(B/A)=P(B).По опред. P(B/A)= .

Обратное:Дано P(B/A)=P(B).Нужно док-ть Р(АВ)=Р(А)·Р(В),т.е.события А и В независимы.По опред. P(B/A)= ; Р(АВ)=Р(А)·Р(В).

События А₁,А₂,…,А_n наз. независимыми или независимыми в совокупности, если вып. след. усл.:

1)P(A_iA_j)=P(A_i)·P(A_j),( i≠j; i,j {1,2,3,…,n})–попарная нез-ть событий;

2) P,( i≠j, j≠k,i≠k; i,j,k {1,2,3,…,n}нез.по 3

n-1) (A₁A₂…A_n)=P(A₁)·P(A₂)·…·P(A_n).

Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.