1.Элементы комбинаторики.
Основные правила комбинаторики:
Лемма1.Из m элем. а1,…,аm 1ой группы и n элем.b1,…,bn 2ой группы можно сост. ровно m∙n упорядоч. пар вида (аi, bj), содержащих по одному элем. из каждой группы.
Док-во:
Лемма 2.
Из n1
элем.1ой группы a1,
а2,…,
аn1,n2
элем. 2ой
группы b1,
b2,…,
bn2,n3
элем. k-ой
группы x1,
x2,…,
xnk
можно сост.
ровно n1∙
n2∙…∙nk
различ.
упорядоч. комбинаций вида
,
содержащих по одному элем. из каждой
группы.
Число выборки. Имеются мн-ва, сост.из n элем.{a1 a2 an}.Будем рассм. выборку объема к (aj1 aj2 ajn) из этих n элементов. Все выборки можно классиф. по 2 признакам:
1упорядоченные и неупорядоченные.
2с возвращением и без возращения.
Если выборка упоряд., то выборки с одним и тем же составом выбр. элем., но разным порядком элем. в выборках, считаются различными.Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элем. отождествляются.
Таблица общего числа выборок объема k из n-элементов:
Упорядоч.
выборка без возвращения наз.размещением.
Число размещений
.
Перестановкой из k элементов наз. сов-ть этих же эл-ов, запис. в произв. порядке. Число перестановок обознач.Рк=к!
Произв-ое k элементное подмножество мн-ва, состоящего из n эл-ов наз. сочет. из n эл-ов по k эл-ов.
Сочетание-неупоряд.выборка
объемом k
из n-эл-ов.
.
Св-ва сочетаний:
1.
.\\\
.
2.
\\\
;
.
3.
.
\\\также.
4.
\\\
=
=
4. Формулы полной вероятности и Байеса.
Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образ. полную группу, то вер-ть люб. события А,кот.может совместно произойти с люб. из событий образ.полную группу выч. по формуле полной вер-ти:
P(A)=P(H1)P(A|H1)+ P(H2)P(A|H2)+…+ P(Hn)P(A|Hn). (!!!) или
P(A)=
Док-во.Так как события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то можно записать Ω= Н1, Н2,…,Нn.Умножим обе части этого равенства на событие А(ACΩ).
P(A)=P(AH1)+ P(AH2)+…+ P(AHn)=((!!!)подставить)
Замечание.При прим. формулы полной вероятности события полной группы наз. гипотезами.
Теорема
2. Пусть
события Н1,
Н2,
…, Нn
образ. полную группу, А–нек.событие,кот.может
произойти совместно с люб.из событий
ораз.полную группу,причем P(A)≠0,
тогда имеет место формула
Байеса:
,
j
(1…n)
Док-во:
P
=
Замеч.При примен. формулы Байеса вер-ти P(H1), P(H2),…,P(Hn) наз априорными вер-ми гипотез. Вер-ти P(H1|A),…,P(Hn|A) наз. апостериорными вер-ми гипотез.
8.Дисперсия дискр.Случ.Велич. И ее св-ва.Нач.И центр. Мом.
Дисперсией случ.велич. наз. число DX=M(X-MX)2. Дисперсия явл. мерой разброса знач. случ. велич.вокруг ее мат. ожидания.
Средним
квадроти-им отклонением случ.вел.Хназ.число
σХ=
.
Для подсчета дисперсии удобна
формулаDX=M(X2)-(MX)2
DX=M(X-MX)2=M(X2-2X·MX+(MX)2)=M(X)2-2MX·MX+(MX)2=M(X2)-(MX)2
Теорема.Дисперс.числа появл.события А в n-независ. испытаниях, в каждом из кот.вер-ть р появл. события постоянно =произвед числа испыт. на вер-ти появл. и непоявл.события в одном испыт.DX=npq.
Док.:Обозн.через
Х-число появл.события А в n-независ.
испыт.; Xi-число
наступ.события в i-ом
испыт.
.
Поскольку Xi
независ. друг от друга,то DX=
.
=M(Xi2)-(MXi)2;
MXi=p,
M(Xi2)=p.
DXi=p-p2=p(1-p)=pq.
В
результате, DX=
Св-ва дисперсии.
1.Дисперсия пост.величины = 0. DC=0.
DC=M(C-MC)2=M(C-C)2=0.
2.Пост.мн-ль можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C2DX.
D(CX)=M(CX-CMX)2=M(C2[X-MX]2)=C2M[X-MX]2=C2DX.
3.Дисперсия суммы 2х независимых случ. величин равна сумме дисперсий этих величин:D(X+Y)=DX+DY.
D(X+Y)=M[(X+Y)2]-[M(X+Y)]2=M[X2+2XY+Y2]-[MX+MY]2==M(X2)+2MXMY--[(MX)2+2MXMY+(MY)2+M(Y2)=(M(X2)-(MX)2)+M(Y2)-(MY)2=DX+DY
Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Начал.моментом порядка k случ.величинам Х наз.мат.ожидание случайной величины Хk и обознач. vk=M(Xk)
В частности, v1=MX, v2=M(X2); DX=v2-v12
Центральным моментом порядка k случ. величины Х наз.мат. ожидание величины (Х-МХ)k.Обознач. µk=M[(X-MX)k]
В частности µ1=M[X-MX]=MX-MX=0, µ2=M[(X-MX)2]=DX. Следовательно, µ2=v2-v12.