1.11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть , a < b, - некоторый ограниченный промежуток , f - функ- ция, интегрируемая на , с – точка, произвольно выбранная на . На сегменте определим функцию F : для всякого х . Отметим, что в точках a и b функция f может быть определена, но может быть и нет, однако F в этих точках всегда определена: , = . Функцию F называют определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. (О непрерывности определенного интеграла с переменным верхним пределом) Если функция f интегрируема на , то непрерывна на .

► Пусть х₀ - некоторая точка сегмента , а h удовлетворяет усло- вию х₀ + h . Имеем:

( здесь возможно как х₀ ≤ х₀ + h, так и х₀ > х₀ + h). Функция f интегрируема и, следовательно, ограничена на ,т.е. существует М > 0 такое,что при всех х |f(x)| ≤ M. Отсюда: , из чего следует: при . В силу теоремы о приращении непрерывной функции ( , стр. 55) непрерывна в точке х₀. Теорема доказана, так как х₀ – про- извольная точка сегмента . ◄

Теорема 2. (О дифференцируемости определенного интеграла с пере- менным верхним пределом) Если функция f непрерывна на сегменте [a,b], то дифференцируема на нём, причем для всякого х, принадлежащего интервалу (a,b); кроме того, = и = .

► Пусть х₀ - некоторая точка интервала (a,b), а h ≠ 0 и удовлетворяет условию х₀ + h . Имеем (см. доказательство теоремы 1): . По теореме о среднем (следствие теоремы 2, п. 1.10) = f(ξ ) h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х₀ и х₀ + h. Очевидно, ξ→ х₀ при h→0, и так как f непрерывна в точке х₀, то = = . Отсюда: , т.е. . Здесь х₀ – произвольная точка интервала (a,b), так что доказано равенство на (a,b).

При h > 0 = f(ξ ) h, где а ≤ ξ ≤ а+ h. Отсюда, так как f непрерывна в точке a справа: = f(а), т.е. существует и равна f(а). Аналогично покажем, что существует и равна f(b). ◄

Следствие. Пусть , a < b, - некоторый промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f непрерывна на нем. Тогда на сущест- вует первообразная функции f .

► Выберем некоторую точку с . Заметим, что при всяком х, при- надлежащем , функция f непрерывна на сегменте, концами которого яв- ляются точки х и с. Следовательно, f интегрируема на таком сегменте. Поло- жим . Это равенство определяет функцию F в каждой точке промежутка . Покажем, что F является первообразной для f на .

Пусть х₀ некоторая точка интервала (a,b). Выберем х₁ и х₂ на этом ин- тервале так, чтобы х₀ и с оказались внутренними точками сегмента [х₁ , х₂]. В силу теоремы 2 на (х₁ , х₂); в частности, . Но х₀ – произвольная точка интервала (a,b); следовательно, на (a,b).

Пусть а принадлежит . Применив теорему 2 к сегменту [a,c], полу- чим: = . Аналогично докажем: если b принадлежит , то = = . ◄

Пусть , a < b, - некоторый ограниченный промежуток, функция f интегрируема на , с – точка, произвольно выбранная на . На сегмен- те определим функцию G : для всякого х . Функцию G назовем определенным интегралом с переменным нижним пределом. Свой- ства этой функции вытекают из равенства и доказанных выше теорем : если f интегрируема на , то G непрерывна на сегменте ; если f непрерывна на , то G дифференцируема на , причем на интервале (a,b) , а в точках a и b, если они принадлежат , = - f(а) и = - f(b).