2) Это утвенрждение теоремы уже доказано, см. Выше. ◄

Пример 17. Рассмотрим . Имеем: при , так что точка 0 - особая для подынтегральной функции; значит мы имеем дело с несобственным интегралом по промежутку Выясним, сходится ли он, и в случае сходимости вычислим его. Функция возрастает на проме- жутке , а множество Е(φ) её значений есть (a,b] = . Заме- нив в заданном интеграле = переменную интегрирования по формуле , где . получим:

= . По теореме 1, так как сходится, то сходится и , при- чем эти интегралы равны. Таким образом, сходится и равен 1. Вык- ладки, на которые опирается это заключение, удобно записывать в виде цепо- чки равенств: = . Заметим, что здесь ра- венства между интегралами носят формальный характер до тех пор, пока не выяснится, что последний из них существует.

Пример 18. Рассмотрим . Заменим переменную интег- рирования: . Функция убывает на промежутке , а множество Е(φ) её значений есть [a,b) = ; поэтому

= . Интеграл = является определенным интегралом; значит, по теореме 1 заданный интеграл сходится, а написанное выше равен- ство действительно имеет место: = . Имеем: = = . Итак, заданный интеграл сходится и равен .

2.5 Главное значение несобственного интеграла по интервалу

Пусть функция f определена на некотором ограниченном интервале (a,b), a < b, и интегрируема на любом сегменте, содержащемся в (a,b); и пусть обе точки a и b являются особыми для f. Тогда и , где с – некоторая точка, a < с < b, - несобственные интегралы, каждый из кото- рых может быть сходящимся или расходящимся.

Сходимость интеграла эквивалентна существованию предела (см. п. 2.2), который, если положить ε₁ = t – a, можно записать как . Аналогично, сходимость интеграла эквивалентна существованию предела . Согласно определению п.2.3 сходи- мость интеграла эквивалентна существованию обоих этих пределов, причем, если они существуют,то

= + = + . Здесь каждый из двух предельных переходов совершается независимо от другого, т.е. ε₁ и ε₂ стремятся к +0 независимо друг от друга.

Однако, особый интерес представляет частный случай описанных выше предельных переходов, а именно тот случай, когда ε₁ и ε₂ стремятся к +0, будучи связанными равенством ε₁ = ε₂ . Речь идет, таким образом,о пре- деле = . Заметим, что если существу- ют и , то существует и , причем он равен сумме первых двух пределов. Обратное утверждение неверно: из су- ществования не вытекает существование пределов и .

Определение 1. Если существует предел , то это число называют главным значением несобственного интеграла .

Обозначают главное значеие интеграла символом v.p. . Таким образом,

v.p. , если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный ин- теграл сходится в смысле главного значения.

Если сходится (см. п.2.3), то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае = v.p. . Важно отметить, что расходящийся интеграл может оказаться сходящимся в смысле глав- ного значения.

Пример 19. Интеграл расходится, см. пример 15. Однако,

. Таким образом, сходится в смысле главного значения, причем

v.p. = 0.

Пусть теперь f определена на неограниченном интервале (-∞,+∞) и интегрируема на всяком сегменте числовой оси.

Определение 2. Если существует предел , то это число называют гдавным значением несобственного интеграла .

Обозначают главное значение интеграла символом v.p. . Таким образом,

v.p. , если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения. Если схо- дится, то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае = v.p. . Расходящийся интеграл может сходиться в смысле главного значения.

Пример 20. Рассмотрим . Имеем: . Таким образом, расходится; этого достаточно для заключения: расходится. Однако, = 0; значит, сходится в смысле главного значения, и v.p. = 0.

2.6. Несобственный интеграл от функции, имеющей особые точки

внутри промежутка интегрирования

Пусть - некоторый промежуток, ограниченный или неограничен- ный, а , l≥2, набор точек, a=x₀ <x₁ <x₂ < …<x_l-1 <x_l=b. Пусть, далее, функция f , удовлетворяет следующим требованиям:

1) f определена во всех точках промежутка , за возможным исклю- чением всех или некоторых точек набора ;

2) f интегрируема на любом сегменте, который принадлежит и не содержит ни одной из точек набора ;

3) f не интегрируема на хотя бы одном из интервалов X_j = (x_j-1,x_j), j= = 1,2, …,l.

Заметим, что в описанной ситуации среди интегралов , j = 1,2, …,l, имеется хотя бы один несобственный интеграл, сходящийся или расхо- дящийся.

Определение. Если все интегралы , j = 1,2, …,l, существуют ( т.е. каждый из них является либо определенным, либо сходящимся несобст- венным интегралом), то их сумму называют несобственным интегралом от функции f по промежутку .

Интеграл, введенный этим определением, обозначают символом . Таким образом,

, если все интегралы в правой части равенства существуют. В этом случае го- ворят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке , а несобственный интеграл сходится. Если же хотя бы один из интегралов , j = 1,2, …,l, расходится, то говорят, что расхо- дится.

Пример 21. Рассмотрим . Подынтегральная функция определена на во асех точках промежутка (0, 2], за исключением точки х₁=1, и непрерывна, а потому и интегрируема на любом сегменте, кото- рый принадлежит (0, 2] и не содержит х₁= 1. Так как и , то х₀= 0 и х₁= 1 являются особыми точками подынтегральной функции, так что и - несобственные интегралы. Имеем:

=

= =

= . Таким образом, и сходятся; значит, сходит- ся, и = + = π + .

Пример 22. Рассмотрим . Как и в предыдущем примере под- ынтегральная функция имеет две особые точки х₀= 0 и х₁= 1. Имеем:

= , так что расходится, Этого достаточно для заключения: расходится.

Литература 1. Рыжаков И.Ю. Предел последовательности. Предел функции.

Непрерывные функции. Изд. СПбГТУ, 2002 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1 М., 1981

Оглавление

1. Определенный интеграл стр 1.1. Площадь плоской фигуры …………………………….. 3 1.2. Раздожение функция на неотрицательные составляющие………………… …. 4 1.3. Интегральные суммы …………………………….. ………………… 5 1.4 Геометрический смысл интегральных сумм неотрицательной функции ………. 6 1.5. Свойства интегральных сумм ………………………… ………………... 8 1.6. Интегрируемые функции ……………………………………………. 9 1.7. Определенный интеграл …………………………………………... 12 1.8. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами ……………... 14 1.9. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами ……………. 15 1.10. Теоремы о среднем для определенного интеграла ……………… ………….. 16 1.11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом …………………… 18 1.12. Способы вычисления определенных интегралов ……………… ……………. 20

2. Несобственные интегралы 2.1. Несобственный интеграл по [a,b) …………………………………………… 23 2.2. Несобственный интеграл по (a,b] ………………………………………….. 28 2.3. Несобственный интеграл по (a,b) ……………………………….. …………. 30 2.4. Замена переменной в несобственном интеграле ………………………………. 33 2.5. Главное значение несобственного интеграла ………………………………… 36 2.6. Несобственный интеграл от функции, имеющей особые точки

внутри промежутка интегрирования ………………………………………… 39

40