20. Выражение координат образа данного вектора при аффинном преобразовании плоскости (пространства).

Координаты в аффинном пространстве Аⁿ вводятся точно так же, как это делалось в случаях аффинных координат на плоскости и в пространстве Е³.

Опр Аффинной системой координат или репером в аффинном пространстве Аⁿ называется упорядоченная система (О, е₁, е₂,…, е_n) (1), состоящая из некоторой точки О Аⁿ и базиса е₁, е₂,…е_n (2) соответствующего линейного пространства Vⁿ. Координатами точки М Аⁿ в репере (1) называются координаты x₁,x₂,…,x_n (3) ее радиуса-вектора в базисе (2), т. е. коэффициенты в разложении = х₁е₁ + х₂е₂+...+х_nе_n.тогда верна

Теорема. Координаты точки в заданном репере определены однозначно.

Пусть наряду с точкой М задана еще одна точка N с координатами y₁,y₂,…,y_n (4) в том же репере (1). Тогда

=y₁e₁+у₂е₂+...+у_nе_{n тогда} = - =(y₁-x₁)e₁+(y₂-x₂)e₂+…+(y_n-x_n)e_n.Таким образом, координаты X_l,X₂,...,X_n вектора в базисе (2) связаны с координатами (3) и (4) точек М и N в репере (1) формулами X_i=y_i—x_i, i=1, 2, ..., n. Рассмотрим наряду с репером (1) еще один репер (О', е'₁, е'₂,...,е'_n).(5) Пусть заданы координаты а₁, а₂,...,а_n точки О' в репере (1) и матрица A=[а_ij] перехода от базиса (2) к базису е'₁,е'₂,...,e_n. (6).Пусть, далее, произвольная точка М А_n имеет в репере (1) координаты (3) и в новом репере (5) координаты x’₁, x’_2,…,x’_n (7).Мы хотим выразить старые координаты (3) точки М через ее новые координаты (7). Для этого введем следующие обозначения: X=[x₁,x₂,…,x_n], X’=[x’₁,x’₂,…,x’_n], A₁=[a₁,a₂,…,a_n] (8) Так как координатный столбец вектора в базисе (2) равен X-A₁, а в базисе (6) равен X', по формулам преобразования координат вектора имеем: X — А₁=АХ' или X=AX’+A₁ (9)

Запишем формулы (9) в развернутом виде

x₁=а₁₁х’₁+а₁₂х’₂+a_1nx’_n+a₁,

xn=an1x’1+an2x’2+…+annx’n+an (10)

или в виде

x_i = i=1,2,…,n (11)

Формулы (9) — (11) называются формулами преобразования

аффинных координат. Они выражают координаты произвольной точки в некотором репере (1) через координаты этой же точки в другом репере (5).

31.Ассимптотический конус.

Рассмотрим урав-ние (однополосный гиперболойд); (конус); (двуполосный гиперболойд)

Значения a,b,c-одинаковые. Рассмотрим сечение заданных поверхностей плоскостью z=h,) |h|>c.

- эллипс; - полуоси;

-эллипс; - полуоси;

- полуоси;

Эллипсы в сечении будут расположены: ‘эллипс в сечении однопол. гипер. будет содержать внутри эллипс,полученный в сечении конуса и эллипса в сечении двуполос. гипер. Рассмотрим

.

Аналогично можно показать, что . При в сечении получаются эллипсы, у которых полуоси стремятся друг к другу, но не будут совпадать. Конус находится внутри однопол. гипер.а двупол. гипер. внутри конуса. Тогда конус наз. ассимптотическим конусам к однопол. и двупол. гиперболойду.

32.Эллиптический параболоид. Сечения эллиптического параболоида и его образование.

Опр Эллиптическим параболоидом называется фигура, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением + =2z, (1) где p>0, q>0. Параболоид (1) симметричен относительно координатных плоскостей Oxz, Оyz и оси Оz. Так как из уравнения (1) следует, что z>0,

то весь параболоид расположен по одну сторону от плоскости Оху. Рассмотрим пересечение параболоида (1) с плоскостью z=h. (2) Проекция на плоскость Оху множества Ф₁ точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью (2), задается уравнением + =2h (3).Если h=0, уравнению (3) удовлетворяет лишь одна точка О (0,0,0);

множество Ф₁ в этом случае содержит лишь эту точку. При h > 0 множество Ф₁ есть эллипс с полуосями a= , b= . Если h растет, то полуоси а и b увеличиваются, и эллипс, получающийся в сечении, неограниченно расширяется. Исследуем множество Ф₁ точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью

х = l. (4).Проекция этого множества на плоскость Оyz задается в системе координат Оyz уравнением

y² = 2qz—ql²/p. (5) .Аналогичная картина получается при пересечении параболоида (1) с плоскостью y=m (6) Проекция соответствующего сечения на плоскость Оxz имеет в системе координат Охz уравнение

х² = 2pz — pm²/q. При различных m сечения являются параболами одинаковых размеров (с параметром р). Таким образом, можно получить следующий способ построения

эллиптического параболоида: если взять две параболы, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а оси имеют одинаковое направление, и одну из этих парабол (образующую) передвигать поступательно так, чтобы ее вершина скользила по другой параболе (направляющей), то образующая парабола опишет эллиптический параболоид.

Если поменять ролями образующую и направляющую параболы, то получится тот же параболоид. Величины р и q эллиптического параболоида (1) (рис.) называются параметрами параболоида, а начало координат — его вершиной. Если p=q, фигура (1) называется параболоидом вращения. Она может быть получена вращением параболы х² = 2рz, расположенной в плоскости Oxz, вокруг оси Оz