30. Двуполостный гиперболоид и его свойства.

О пределение: Двуполостным гиперболоидом называется множество всех точек пространства координаты которых в некотором специально выбранном ортонормированном репере удовлетворяет уравнению: ,

где a>0,b>0,c>0.

Если a=b – двуп. гиперб. вращения, т.к. может быть получен вращением гиперболы вокруг действ. оси.

Свойства:

1.Симетричность (относительно: координатных плоскостей, координатных осей и начало координат)

2.Форма: а)z=m(m>0) ,

если m<c, –мнимый эллипс

если m=c, –точка С₁(0,0,с) и С₂(0,0,-с)

если m>c,

m→∞ - полуоси эллипсов увеличиваются

b)y=0, - гипербола

действительная ось Oz, мнимая Ox

y=n, n<b-гипербола(║Оz)

n=b, n>b.

Аналогично рассматривается сечения поверхности плоскостью х=0 и ей параллельными плоскостями.

В пространстве между плоскостями z=c и z=-c –точек нет.

19.Композиция двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование плоскости (доказательство).

Те-ма :Мн-во всех аффинных преобразований пространства Аⁿ есть группа отн композиции преобразований. Пусть аффинное преобразование f пространства Аⁿ переводит

произвольную точку М (x₁,x₂,…,x_n) в репере (О, е₁,е₂, ..., е_n) (1) в точку М' (х'₁,х'₂,...,х'_n) в том же репере, вычисляемыми по формулам Х'=АХ+АХ₁(2). Пусть, далее, аффинное преобразование g пространства Аⁿ переводит точку М' в точку М" с координатами x₁``,x<sub>2</sub>``,…,x_n`` (3) в репере (1). Тогда имеют место формулы: Х"=ВХ'+В₁(4). где В — невырожденная матрица; X" — координатный столбец,

составленный из чисел (3); В₁ — координатный столбец, составленный из некоторых чисел b₁,b₂,…,b_n Р. Подставляя выражение X' из формулы (2) в (4), получаем Х"=(ВА)Х + (ВА₁+В₁). (5) Эти формулы выражают координаты точки М." в репере (1) через координаты точки М в том же репере, т. е., другими словами, они являются координатным выражением отображения gof:Aⁿ Aⁿ в репере (1). Это отображение является аффинным преобразованием пространства Аⁿ. Итак, композиция двух аффинных преобразований пространства Аⁿ есть аффинное преобразование пространства Аⁿ. Т.е. композиция аффинных преобразований обладает свойством ассоциативности. Тождественное отображение е:Аⁿ Аⁿ задается формулой Х=ЕХ, где Е — единичная матрица, и поэтому является аффинным преобразованием, играющим роль нейтрального элемента. Из формулы (3) получаем X=A^-1 X` - A^-1A₁. Эта формула является координатным выражением преобразования f^-1:Аⁿ Аⁿ. Из нее видно, что f^-1 — аффинное преобразование пространства Аⁿ.