23.Изометрия.

Лемма.Изометрия сохраняет скалярное произведение.

1. Пусть K,M,N-произвольные т.пл-ти. KN=KM+MN; sqr(KN)=sqr(KM+MN);

sqr(KN)=sqr(KM)+sqr(MN)+2KM*MN;

sqr(KN)=sqr(КМ)+sqr(MN)-2МК*MN.

Отсуда 2MK*MN=sqr(MK)+sqr(MN)-sqr(KN)

2.Пусть O,A,B-произв.т.пл-ти, а B’,O’,А’ их образы

O→O’;A→A’;B→B’;OA=O’A’;OB=O’B’(по опр.).

2OA*OB=sqr(OA)+sqr(OB)-sqr(AB);

2O’A’*O’B’=sqr(O’A’)+sqr(O’B’)-sqr(A’B’).

Правая часть этих двух равенств одинакова,зн.равны и левые части,т.е. OA*OB=O’A’*O’B’/

Теорема.Изометрия является движением.

Док-во.:

1)Покажем,что ортонорм.репер переходит в ортонормированный.

Пусть R={I,j,k}- орт репера и i=OA, j=OB, k=OC

O’A’=OA=1, O’B’=OB=1, O’C’=OC=1

2)Покажем,что при изометрии любая т.M(x,y)переходит в т.M’(x’,y’),кот.будут равны в репере R’ координатам(x,y)/

OM=x*i+y*j+z*k O’M’=x*i’ +y*j’+z*k’

OM*i=x O’M’*i’=x

OM*j=y O’M’*j’=y

OM*k=z O’M’*k’=z

Изометрическое отображение и движения совпадают, поэтому изометрия есть преобразование плоскости или пространства.

25.Подобие.Гомотетия.

Опр.Соответствие точек пл-ти в пр-ве наз.подобием с коэф.k>0,k из R,если для любых двух точек M и N и их образов M’ и N’ выполн.условие ρ(M’,N’)=kρ(M,N).

Опр.Пусть т.S-точка пл-ти,k из R,k≠0.Отобр.пл-ти в себя,при кот.каждой точке M ставится в соотв.M’,так что SM’=kSM наз.гомотетией с центром S и коэф.k.H(S,k)-обозначение гомотетии.

Т.Гомотетия пл-ти с центром S,коэф.k из R, k≠0 есть подобие с коэф.|k|.Д.M→M’,т.о.по опр.SM’=kSM,N→N’,аналогично:SN’=kSN.Рассм.вектор M’N’=SN’-SM’=kSN-kSM=k(SN-SM)=kMN.Т.о.M’N’=kMN.|M’N’|=|k||MN|.По опр.умнож.вект.на число имеем,что ρ(M’,N’)=|k|ρ(M,N)/

Т.Гомотетия есть аффинное преобр.Д.R{S,e1,e2};SM=kSM;M(x,y),M’(x’,y’);x’=kx;y’=ky.C(по строкам:k 0,0 k),detC=sqr(k)≠0.По теор.об афф.преобр.получаем,что данное преобр.аффинное./

Т.Аффинное преобр.пл-ти в репере R{O,e1,e2},определяемое зависимостью x’=kx;y’=ky,k≠0 есть гомотетия с центром O и коэф.k.Д.M(x,y),M→M’(x’,y’);OM=xe1+ye2;OM’=x’e1+y’e2,тогда OM’=kxe1+kye2=k(xe1+ye2)=kOM;OM’=kOM/

Т.Композиция гомотетии h1(S,k1) и h2(S,k2) есть гомотетия с центром S и коэф.k1*k2.

14. Определение аф. Преобразований.

Пусть на плоскости даны R и R^{’ .} Рассмотрим произв. т. М в R. Поставим в соотвецтвие т. М^’, которая имеет такие же координаты, что и т.М в R. Тогда каждая точка плоскости в R перейдет в другую точку, которая в R^’ будет иметь такие же корд. Такое соотв. явл. преобразованием плоскости.

Опр. Пусть на плоскости зад. R и R^’ . Преобр. Плоскости которое исходной т.М ставит в соотв. т. М^’ имеющую относительно R^’ такие же координаты, что и т.М в R наз. аффинным преобр.

Т. Преобр. плоскости обратное аф. преобразованию явл. аф. преобр.

Док-во Пусть f – аф. пр. плос-ти . Осуществим переход от R к R^{’ .} Рассмотрим преобр. f^--1 , которое зад-ся переходам от R^’к R. М^’ отобр. в прообр. Т.М при преобр. f . Тогда преобр. f^—1 явл аффинным.

Опр. Пусть на плос (прост) заданы два ортонорми реп R и R^,. Преобразование плос (прост),которое каждой точке М ставит в соответствие М^,, имеющую относительно репера R^, те же координаты, которые точка М иммет относительно репера R, наз движением плоскости (простр).

В зависимости от ориентации реперов различают движения первого рода (реперы ориентиров одинакого) и движением второго рода(реперы имеют противополож ориентацию)

Теорема. Движение сохраняет расстояние между точками.

Док-во Реперы. Пусть М и N две произвольные точки, которое относит репера R.Координаты х_{1 ,}у₁ и х_2,у_2. Тогда расстояние между ними выражается P(M,N)=

Образы имеют те же координаты

P(M^,,N^,)=

Таким образом p(M,N)=p(M^,,N^,)