8.Диаметры линии 2-го порядка.

Множество середин хорд, данного неасим-ого напр-ния относительно линии 2-го порядка наз. Диаметром сопряжённым хордам данного направления

Определим как найти ур-ние диаметра:

Для седины хорды,высекаемой линией 2-го порядка, заданной выполняется условие:

=0

( -координаты середины хорды. Тогда для всех середин хорд,заданного напр-ния : =0

=0

Ур-ние линейное относительно 2-х переменных, где неасим-ого напр-ния. На плоскости линейное ур-ние относительно 2-х переменных образеут линию. Ур-ние диаметра линии 2-го порядка сопряжённым хордам данного направления . Направляющий вектор диаметра –

Св-ва диаметров линий второго порядка:

Св-ва диаметров нецентральной линии:

Линия нецентральная, т.е. ; ,

Т-ма:Диаметры любой нецентральной линии имеют асимптотическое направление

Док-во: Пусть d –диаметр нецентральной линии: d:Ax+By+C=0, - направляющий вектор прямой; (из ур-ния диаметра, сопряжённому). Тогда d имеет ур-ние: ;

Покажем, что векторы и коллинеарны, т.к. , то = =

Тогда , , коллинеарны

Вектор -направляющий вектор диаметра, а вектор , , - коллинеарны, то можно любой из них взять в качестве направляющего. Нецентральные линии имеют ( одно асимп-ое напр-ие. Если , то , тогда коллинеарен в-he . Если , то , -коллинеарен в-ру .Все диаметры имеют асимп-ое напр-ние.

Если , то х=0 один диаметр

-совпавшие прямые(один диаметр)

-мнимые параллельные прямые(нет противоречий)

7.Диаметры линии 2-го порядка.

Множество середин хорд, данного неасим-ого напр-ния относительно линии 2-го порядка наз. Диаметром сопряжённым хордам данного направления

Определим как найти ур-ние диаметра:

Для седины хорды,высекаемой линией 2-го порядка, заданной выполняется условие:

=0

( -координаты середины хорды. Тогда для всех середин хорд,заданного напр-ния : =0

=0

Ур-ние линейное относительно 2-х переменных, где неасим-ого напр-ния. На плоскости линейное ур-ние относительно 2-х переменных образеут линию. Ур-ние диаметра линии 2-го порядка сопряжённым хордам данного направления . Направляющий вектор диаметра –

Св-ва диаметров линий 2-го порядка:

Св-ва диаметров центральных линий:

1.Для центральной линии диаметр сопряжённый неасим-ому напр-нию проходит через центр(по опр центра и диаметра)

2.Прямая, неасим-ого напр-ния, проходящая через центр линии, является диаметром

Док-во:Возьмём d:Ax+By+C=0 неасим-ого напр-ния.Направляющий вектор (-В;А)

Пусть F(x,y)=0, M( -центр A

A( . Вектор неасим-ого напр-ния, т.к. т.М-центр, то с-ма имеет вид: имеет единственное решение; , . Определим направляющий вектор прямой d. Прямая d имеет направление сопряжённое направлению заданному вектором : . Тогда с точностью до коллинеарности можено записать: А= . Линия центральная, значит

(

. Получили ур-ние диаметра.

.Прямая асимп-ого напр-ния, проходящая через центр линии, не принадлежащей ей является асимптотой

во:Ур-ние прямой d диаметра, если известно M( -центр, т.М не принадлежит линии 2-го порядка.Нужно показать, что d будет асимптотической асимптотойнапр-ния Р=0

; ;

; ; (

-

(- - + + + )=0 Получим ур-ние прямой, где ( =0, т.е. Q=0. Тогда R 0-асимптота

4.Если диаметры линии, где –множество середин хорд, параллельных диаметру , то –множество середин хорд, параллельных диаметру

Док-во: Пусть сопряжён хордам неасимптотического направления ,а сам диаметр имеет направление . Тогда =0

-ур-ние диаметра и (*).Предположим, что диаметр сопряжён хордам направления .Докажем, что векторы и - коллинеарны.

Ур-ние диаметра =0, в тоже время диаметр параллелен вектору ,

т. е. , получим: (**)

Сравнивая равенства (*) и (**) получим, что векторы –коллинеарны.Поэтому диаметр сопряжён хордам направления