2.Вращение вокруг точки.

Опр.Пусть на пл-ти задана некоторая т.C и направленный угол φ,не равный 0.Поставим в соотв.т.M такую т.M’,что угол MCM’=φ,CM’=CM.Такое преобр.наз.вращением вокруг точки.

M(x,y);M’(x’,y’);M(ρ,α);x=ρcosα;y=ρsinα.Тогда коорд.т.M’:x’=ρcos(φ+α)= ρ(cosφcosα-sinφsinα)= ρcosφcosα-ρsinφsinα; y’= ρsin(φ+α)= ρsinφcosα-ρcosφsinα;

x’=cosφx-sinφy; y’=sinφx+cosφy. Рассм.случай,когда т.C не совпадает с нач.коорд. x’=cosφX-sinφY;y’=sinφX+cosφY.R’{C,i,j}.X’=Xcosφ-Ysinφ;X’=x-x0;Y’=Xsinφ+Ycosφ;Y’=y-y0;X’=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ;Y’=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;(x’-x0)=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ;(y’-y0)=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;

x’=cosφx-sinφy+x0+(-x0cosφ+y0sinφ);

y’=sinφx+cosφy+y0(-x0sinφ-y0cosφ).

C=(по строкам:cosφ –sinφ,sinφ cosφ)-матр.ортогональна,зн.данное отобр.явл.аф.преобр.первого рода.

22.Неподвижные точки при аффинном преобразовании

Пусть дана f:

Тогда нужно решить систему (1)

Рассматривая систему (1) аффинное преобразование может иметь одну неподвижную точку, не иметь неподвижных точек или иметь бесконечное множество неподвижных точек.

Система (1) имеет одну неподвижную точку, если

Если дельта равна 0 и х0=у0=0, то аффинное преобразование имеет бесчисленное множество неподвижных точек. Если дельта не равна 0 и х0=у0=0, то аффинное преобразование не имеет неподвижных точек.

35Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Дано: - напоминает уравнение однополостного гиперболоида. Преобразуем его: Рассмотрим две системы уравнений: и где и

Легко подсчитать, что в каждой из систем уравнений (3), (4) ранг матрицы, составленной из коэффициентов при x, y, z равен двум, то есть системы (3), (4) определяют прямую при фиксированных k1,l1,k2,l2. Свойства: 1. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две прямолинейные образующие. 2. Любые две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются. 3. Любые две прямолинейные образующие из разных семейств лежат в одной плоскости.

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Уравнение: или Рассмотрим две системы уравнений: и Где k1,l1,k2,l2 принадлежат R, k1^2+l1^2<>0, k2^2+l2^2<>0. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида обладают свойствами 1 – 3, аналогичные свойствам однополостного гиперболоида.

2.Плоские линии, определяемые уравнением второй степени, не содержащим члена с произведением переменных. Способы аналитического задания:

Эллипс - плоская линия. Уравнение в прямоугольных координатах: линия расстояний каждой точки Р  которой до двух фиксированных то­чек F1 и F2 (фокусов) постоянна и равна2a . Уравнение в прямоугольных ко­ординатах: - X ²/a²  +Y²/a²=1 Гипербола — плоская линия, раз­ность расстояний каждой точки Р которой до двух фокусов F1 и F2 постоянна и равна 2 а или —2 а. Уравнение в прямоугольных ко­ординатах: X²/A²-Y²/B²=1 Парабола — плоская линия, рас­стояние каждой точки Р которой до фокуса F равно расстоянию до фиксированной прямой d. Уравнение в прямоугольных ко­ординатах: Y²=2PX