9.Взаимно сопряженные направления относительно линии второго порядка.

, - взаимно сопряженные направления относит линии 2-го порядка.

Опр. Не нулевые и назыв взаимно-сопряж направлениями относит линий 2-го порядка, если они удовл условию a₁₁p₁q₁+a₁₂p₂q₂+a₁₂p₂q₁+a₁₂p₂q₂=0. Зная одно направл из условия найдем второе (a₁₁p₁+a₁₂p₂)q₁+(a₁₂p₁+a₂₂p₂)q₂=0.тогда = -

Данная зависимость опред второе сопряж направл. 1)Рассмотрим вопр когда напр сопряжено само себе , тогда из условия сопр получим = - . a₁₂p₁p₂+a₂₂p₂²+a₁₁p₁²+a₁₂p₁p₂=0;тогда a₁₁p₁²+2 a₁₂p₁p₂+ a₂₂p₂²=0

Вывод: Вектор будет сопряжен самому себе, если он имеет асимптотическое направление

2)Может ли вектор по отнош к линиям 2-го порядка быть таким, что для него не сущ единств сопряж ему направл? Это возможно тогда, когда (a₁₁p₁+a₁₂p₂)=0 и соотв (a₁₂p₁+a₂₂p₂)=0

определить I₂=0

Система не будет иметь единственного решения. Таким образом линия парабол вида для вектора не сущ единственного сопряж ему напр.Покажем , что диаметр линий 2-го порядка, напр вектор и напр вектор хорд не осимпт. напр, с кот сопряж диаметр явл взаимно сопряжными векторами. Пусть d это прямая, являющаяся диаметром:

d: [-((a₁₁p₁+a₁₂p₂); (a₁₂p₁+a₂₂p₂)]

= - т.е по опр. Получим, что и взаим.сопр

1.Упрощение общего уравнения линий второго порядка

A₁₁x²+2a₁₂ xy+a₂₂ y² +2a₂ y+2a₁ x+a₀ =0 R {o,i,j} (1)

Рассмотрим поворот относительно т.О

Y=x^\sinφ+ y^\cosφ

A₁₁ (x^\ cosφ – y^\ sinφ)²+ 2a₁₂( x^\ cos φ– y^\ sinφ)(x’sinφ+y’cosφ)+a₂₂(x’sinφ+y’cosφ)+2a₁(x’cosφ-y’sinφ)+2a₂(x’sinφ+y’ cosφ)+a₀=0

(a₁₁ cos² φ +2a₁₂ cosφsinφ+a₂₂ sin² φ )’²+(-2a₁₁ cosφsinφ+2a₁₂ cosφsinφ-2a₁₂ sinφcosφ+2a₂₂ sinφcosφ)x’y’+(a₁₁ sin² φ-2a₁₂ sinφcosφ+a₂₂ cos² φ)y’²+(2a₁ cosφ+2a₂ sinφ)x’+(-2a₁ sinφ+2a₂ cosφ)y’+a₀=0

Rʹ{o,i,j}; i(cosφ ,sinφ) ,j(-sinφ, cosφ)тогда уравнение можно переписать ввиде:

A₁₁^\2+a₁₂^ʹ x’y’+a₂₂ ‘y’²+2a₁’ x’+2a₂’ y’+a₀ =0 (2)

В уравнении (1)a₁₂≠0. Покажем, что сущ.φ При котором согласно a₁₂’ превращается в ноль.

-a₁₁ cosφsinφ +a₁₂ cos ²φ -a ₁₂sin ²φ +a ₂₂sinφcosφ=0

-a₁₂ tg ²φ+(-a ₁₁+a ₂₂)tg φ+a ₁₂=0

A₁₂ tg ²φ-(a₂₂ –a₁₁ )tgφ –a₁₂ =0

Tg=

A₁₁ ‘x² +a ₂₂’ y ²+2a₁ ‘x’ +2a₂’ y’+a ₀=0(3)

;

Таким образом, можно построить новый реперF’ в котором будет изучать и исследовать уравнение(3)

Упрощение уравнения (3):

1. A₁₁^\≠0; a₂₂^\≠0

2. A₁₁^\≠0; a₂₂^\=0

3. A₁₁^\=0; a₂₂^\=0

13.Отображение и преобразования мн-ств.

Пусть Х,У два мн-ва, Эл-ми которых являются обьекты различной природы. Пусть по некоторому закону каждому эл-ту хХ поставлено в соотвецтвие Эл-т

уУ.Тогда говорят что мн-ва Х отоброжается в мн-во У. при этом ел-т у называется образом, а Эл-т х—прооброзом.

Основные пон-я с приобразованием мн-в Х,У

Если  двух различ. х₁,х₂Х их образы различны, то отображение наз. инъективным.

Если каж-й эл-т мн-ва У явл. образом по крайней мере одного эл-та мн-ва Х, то отображение наз. сюръективным.

Если 1. и 2. то ето биекцыя.

Взаимно однозначное отобр. f:XУ позволяет установить отобр. f’:XУ. Тогда каждый Эл-т мн-ва У переходит в прообраз из мн-ва Х при отобр. f. Отобр. f ’ также будет взаимно однозначным. Обозн. f^-1 и наз. обратным отобр. к биективному отобр.f.Если отобр. мн-ва Х на мн-во У, где у= f(х)=Х, то говорят, что зад. Отобр. мн-ва Х само на себя.Взаимно однозначное отобр. мн-ва Х само на себя наз. преобразованием мн-ва Х.Параллельный перенос на вектор a.Опр.Параллельным переносом наз.такое отобр.пл-ти на себя,при кот.любая т.M переходит в т.M’ так,что MM’=a,где a-з1аданный ненулевой вектор.

Т.Параллельный перенос есть движение.Д.Пусть a(a1,a2),M(x,y)→M’(x’,y’).MM’(x’-x,y’-y);Тогда x’-x=a1;y’-y=a2,т.е.x’=x+a1;y’=y+a2.C(по строкам-1 0,0 1).Это движение первого рода