33.Гиперболический параболоид. Сечения и образование гиперболического параболоида.

Опр. Гиперболическим параболоидом называется фигура, которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением - =2z,где р>0, q>0.(1). Параболоид (1) симметричен относительно координатных плоскостей Oxz Oyz и оси Оz. Исследуем множество Ф₁ точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью

z= h. (2) Проекция этого множества на плоскость Оху задается в системе координат Оху уравнением - =2h (3)

Если h = 0, уравнение (3) распадается на два уравнения: - =0 , + =0 (4). которые задают две прямые. Итак, плоскость Оху пересекает параболоид (1) по двум прямым (4). При h > 0 уравнение (3) задает семейство соасимптотических гипербол, имеющих вершины на оси Ох.

При h < 0 получается семейство гипербол, им сопряженных. В сечении параболоида (1) плоскостями х =l (5) получаются параболы, проекции которых на плоскость Oyz задаются

в системе координат Oyz уравнением у² = — 2qz + ql²/p.

Эти параболы имеют одинаковые размеры. Аналогично получается и карта сечений параболоида (1) плоскостями у=m: она состоит из конгруэнтных парабол x²=2pz + pm²/q.

Гиперболический параболоид можно образовать аналогично

эллиптическому параболоиду с той лишь разницей, что оси

направляющей и образующей парабол в случае гиперболического параболоида имеют противоположные направления. Гиперболический параболоид (1) изображен на рис.

34.Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности второго порядка. Распадающиеся поверхности второго порядка.

Опр. Цилиндр фигурой будем наз фигуру, состоящую из произвольного мн-ва прямых, параллельных друг другу. Сами эти прямые называются (прямолинейными)

образующими цилиндрической фигуры. Примерами цилиндрических фигур являются: 1) прямая, 2) плоскость 3) круглая цилиндрическая поверхность,4)круглое цилиндрическое тело .Плоская фигура, получающаяся в пересечении цилиндрической фигуры с плоскостью, перпендикулярной к образующим, называется направляющей цилиндрической фигуры. Так, для указанных цилиндрических фигур направляющими

являются точка, прямая, окружность и круг.

Теорема Уравнение F(x, у) =0 (1) задает в прямоугольной системе координат Охуz цилиндрическую фигуру Ф, образующие которой параллельны оси Оz. Направляющая Ф₁ фигуры Ф, лежащая в плоскости Оху, задается в системе координат Оху уравнением (1). Эллиптический цилиндр. Опр. Эллиптическим цилиндром называется фигура , которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением =1 (1) За направляющую эллиптического цилиндра (1) может быть принят эллипс, лежащий в плоскости Оху и имеющий в системе координат Оху уравнение (1). Эллиптический цилиндр (1) симметричен относительно: 1) каждой из координатных плоскостей; 2) каждой плоскости, параллельной плоскости Оху 3) каждой координатной оси; 4) каждой прямой, параллельной оси Ох или оси Оу и пересекающей ось Оz; 5) каждой точки, лежащей на оси Оz. Ось Оz называется

осью цилиндра. Если а=b, цилиндр (1) называется цилиндром вращения. Параболический цилиндр. Опр.

Параболическим цилиндром называется фигура, которая в

прямоугольной системе координат Oxyz задается уравнением х₂ = 2ру. (2) За направляющую параболического цилиндра (2) может быть принята парабола, лежащая в плоскости Оху и выражаемая в системе координат Оху уравнением (2). Из уравнения (2) видно, что координата у точек параболического цилиндра принимает только неотрицательные значения. Поэтому весь цилиндр (2) располагается по одну сторону от плоскости Охz, а именно: по ту сторону, в которую идет положительная полуось Оу. Цилиндр (2) симметричен

относительно: 1) плоскости Оуz; 2) плоскости Оху и любой плоскости, ей параллельной; 3) оси Оу и любой прямой, ей параллельной и пересекающей ось Оz

Гиперболический цилиндр. Опр. Гиперболическим цилиндром называется фигура , которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением - =1 (3)

За направляющую гиперболического цилиндра (3) может быть принята гипербола, лежащая в плоскости Оху и выражаемая в системе координат Оху уравнением (3). Отметим, что гиперболический цилиндр состоит из двух полостей. Цилиндр (3) симметричен относительно: 1) каждой из координатных плоскостей; 2) каждой плоскости, параллельной плоскости Оху; 3) каждой из координатных осей; 4) каждой прямой, параллельной оси Ох или оси Оу и пересекающей ось Оz 5) каждой точки, лежащей на оси Ох. Ось Ох называется осью гиперболического цилиндра.