4. Преобразование энергии методом адиабатического сжатия.

4.1. Ударная волна. Адиабата Гюгонио.

Р ассмотрим поршень, начинающий движение, впереди его сдвигается прилегающая область газа, образуя ступеньку давления по сравнению с невозмущенным газом. Газ за волновым фронтом адиабатически сжат, T его выше, чем перед фронтом. Но известно, что . В области позади скачка a_зв выше, чем впереди его.

Л юбое другое возмущение за скачком, например, вызванное напором тела будет бежать быстрее, чем сам фронт. С увеличением скорости поршня, давление и скорость перемещения возмущений возрастают. Схематично это можно представить, как показано на риунках.

Образование ударной волны в моменты времени t₁<t₂<t₃.

С увеличением a_зв за фронтом скорость возмущений возрастает и они как бы подталкивают фронт, т.е. образуют скачок уплотнений, создают фронт ударной волны, который тем круче, чем выше скорость поршня.

Выйти за фронт (обгон его) невозможен по простой причине, что перед фронтом скорость возмущений не превышает скорости фронта.

Поскольку весь наш курс посвящен видам преобразования энергии, то сейчас рассмотрим вопросы, связанные с преобразованием энергии в ударных волнах.

Рассмотрим покоящийся газ с постоянной плотностью и давлением ₀, P₀. Возьмем ограничим поршнем. Пусть в начальный момент времени поршень начинает сжимать с постоянной u. В области прилегающей к поршню скорость газа равна скорости поршня.

Найдем неизвестные величины ₁, P₁, а также скорость распространения разрыва по невозмущенному газу, исходя из общих законов сохранения массы, импульса и энергии, выполнение которых не подлежит сомнению.

Пусть ₀, P₀ и u известны. К моменту t в столбе с сечением в 1 см² движение охватывает массу газа, равную ₀Dt. Эта масса занимает объем (D-u)t, т.е. ₁ удовлетворяет условию:

М асса ₀Dt приобретает количество движения ₀Dtu, которое по закону Ньютона равно импульсу сил давлениия. Результирующая сила, действующая на сжатый газ, равна разности давлений со стороны поршня и со стороны невозмущенного вещества, т.е.

Н аконец, приращение суммы внутренней и кинетической энергий сжатого газа равно работе внешней силы, толкающей поршень P₁ut:

т.е. получаем систему 3-х уравнений для определения 3-х неизвестных ₁, P₁, D.

Термодинамическая связь (P,) конечно предполагается известной. Преобразуем эти

уравнения, сведя все члены перед разрывом, например, в правые части уравнений, а за разрывом в левые.

И учитывая, что D – скорость распространения разрыва по неподвижному газу, то u₀ = -D – скорость, с которой невозмущенный газ втекает в разрыв, а D-u – скорость распространения разрыва относительно движущегося за ним газа, т.е. u₁= -(D-u) – эта скорость, с которой газ вытекает из разрыва. Вводя эти обозначения в уравнения, запишем закон сохранения массы:

З акон сохранения импульса при помощи (1) приобретает вид:

З акон сохранения энергии с использованием (1) и (2) преобразуется к виду:

Или введя удельную энтальпию , можно записать так:

Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее общей форме соотношения между газодинамическими величинами на поверхности разрыва, в который газ втекает по направлению, нормальному к самой поверхности.

Сейчас введем вместо плотностей удельные объемы V₀ = 1/₀, V₁ = 1/₁ (5)

И з уравнения (1) получим

Исключая из уравнений (1) и (2) сначала одну, а потом другую скорость, найдем

Е сли ударная волна создается в покоящемся газе движением поршня, для скорости движения сжатого газа относительно невозмущенного, равной скорости поршня получим

О тметим полезную формулу для разности кинетических энергий газа по обе стороны разрыва в системе координат, в которой разрыв покоится:

Подставляя выражения для квадратов скоростей (7) и (8) в уравнение энергии (3), получим соотношение, связывающее давления с удельными объемами по обе стороны разрыва:

Это адиабата Гюгонио.

И ли заменяя удельные внутренние энергии  на удельные энтальпии (=+PV) получим

По аналогии с соотношением, связывающим начальные и конечные давления и объемы при адиабатическом сжатии вещества, выражения (11) и (12) носят название ударной адиабаты или адиабаты Гюгонио. Ударная адиабата представляется функцией,

P₁=H(V₁, P₀, V₀) (13),

которая в ряде случаев может быть найдена в явном виде.

Ударная адиабата имеет существенное отличие от обычной адиабаты (адиабата Пуассона в идеальном газе с постоянной теплоемкостью). Рассмотрим некоторые из этих отличий.

Возьмем для простоты идеальный газ с постоянной теплоемкостью. На этом примере удобно выяснить все основные закономерности изменения величин в ударной волне.

П одставим в уравнение ударной адиабаты (11) или (12) соотношения

Это дает возможность найти в явном виде уравнение ударной адиабаты:

Д ля отношения объемов получим формулу:

О тношение температур равно:

С помощью (16) скорости по формулам (7) и (8) можно представить через давления и начальный объем:

В ыясним некоторые закономерности для ударных волн. Ударная адиабата представляет собой кривую на плоскости P,V, которая проходит через точку начального состояния P₀, V₀.

И з формулы (16) видно, что в случае ударной волны очень высокой амплитуды (т.е. P­₁>>P₀) плотность газа возрастает не беспредельно, а стремиться к определенному значению. Это предельное сжатие зависит только от показателя адиабаты и равно

Для одноатомного газа с k=5/3 предельное сжатие равно 4.

Для 2-х атомного газа предположим, что колебания не возбуждены k=7/5 предельное сжатие равно 6, если считать колебания возбужденными k=9/7 и сжатие равно 8.

В действительности, при высоких давлениях и температурах теплоемкость и показатель адиабаты не являются постоянными, т.к. в газе происходит диссоциация молекул и ионизация атомов. Однако и в этом случае величина сжатия всегда остается ограниченной и чаще всего не превышает 11-13.

Если взять производную от ударной адиабаты и адиабаты Пуассона, то оказывается ударная адиабата имеет больший наклон, чем адиабата Пуассона, т.е. на PV-диаграмме ударная адиабата лежит выше и имеет кроме того, как мы видим, вертикальную асимптоту.

Изобразим качественно на PV-диаграмме ударную адиабату и адиабату Пуассона.

П ри ударном сжатии от объема V₀ до объема V₁<V₀, энтропия повышается (это можно показать с помощью имеющихся у нас формул), а при адиабатическом – остается неизменной. Но при одинаковом объеме давление тем выше, чем больше энтропия.

Приращение удельной внутренней энергии при ударном сжатии ₁-₀ от состояния А до состояния В, как видно из (11), численно равно площади трапеции MABN.

Е сли газ сжать адиабатически из состояния А до того же самого объема V₁ (до состояния Q), то для этого нужно совершить работу, численно равную площади MAQN, ограниченной сверху обычной адиабатой P. Эта площадь дает и приращение внутренней энергии газа

Д ля того, чтобы привести газ в конечное состояние В, необходимо его еще нагреть при постоянном объеме V₁, сообщив ему количество тепла, численно равное разности площадей, т.е. равное площади фигуры ABQ. Эта площадь и определяет возрастание энтропии газа при ударном сжатии. Она равна

где - некоторая средняя температура на отрезке прямой QB (при V=V₁=const).

В системе координат, в которой исходный газ покоится, он после сжатия приобретает кинетическую энергию (на 1 г), равную, согласно формуле (9):

Эта энергия численно равна площади АВС.

П лощадь прямоугольника MCBN = P₁(V₀ – V₁) представляет собой полную энергию, сообщенную 1 г первоначального покоящегося газа. В сильной ударной волне, когда P₁>>P₀, она поровну делится между приращениями внутренней и кинетической энергий: площадь MABN  площади ABC.