2.5. Численное решение задачи Лагранжа для различных случаев.
На рисунке приведена общая схема одноступенчатой и двухступенчатой установок.
1
S S
Lk Lст
2
1
S s
x
I x Lk Lст
L0
L
Простейшим вариантом расчета является расчет движения в одноступенчатой установке, в которой сечение камеры равно сечению ствола: S=s
Эта задача носит название задачи Лагранжа для цилиндрической трубы. Более сложным является вариант решения той же задачи, когда S≠s. Это задача Лагранжа для трубы переменного сечения. Очевидно, что к решению этой же задачи приходится прибегать и в случае двухступенчатой установки, если предположить, что поршень, сжимающий легкий газ, сначала занимает свое крайнее положение (Lk) при неподвижном снаряде, а затем (при неподвижном поршне) происходит выстрел.
а) Численное решение для цилиндрической трубы.
Как мы видели в случае цилиндрической трубы решение задачи Лагранжа зависит от показателя адиабаты К и отношения массы снаряда m к массе газа m.
Как показывают расчеты, уже при значениях относительной длинны ~18-20 изменение скорости становится незначительным.
Совпадения результатов, как показывают расчеты по классической и г/д методикам, нет.
Сравнение результатов показывает, например, чтобы аппроксимировать точное решение классической формулой внутренней баллистики для скорости по ф-ле
необходимо заменить коэффициент b1=0,33 на коэффициент 0,28-0,26 в диапазоне П~1-10.
Наличие такой аппроксимации позволяет провести некоторые аналитические исследования экстремальных режимов установок.
б) Численное решение для трубы переменного сечения (Q=0)
Система уравнений
2R
2r
s
Ф=Ф0=const Lk
Обычно
вводят безразмерные координаты
,
и, соответственно, в безразмерной форме
искомые функции U=u/a0;
A=a/a0
, а также задаем профиль камеры уравнением
r/Lk=R(ξ),
то ур-я
Остается преобразовать граничное условие на поршне. Уравнение движения поршня
можно привести к
виду где
откуда
Совершенно очевидно, что объем камеры можно представить в виде Wk=bSLk, где
b-числовой коэффициент (для цилиндра b=1), поэтому можно записать
и
,
где м1-
масса метающего газа.
Следовательно,
граничное условие определяется еще
одним безразмерным параметром П (например
вычисляется однозначно, если задана
форма камеры).
Итак, решение задачи Лагранжа при заданном К в случае трубы переменного сечения зависит от двух параметров: П и профиля камеры R(ξ).
В случае цилиндрической трубы параметр формы камеры выпадает, и решение зависит только от одного параметра.
Чтобы выяснить особенности картины движения в случае трубы переменного сечения (или как принято называть «бутылочности»). Обозначим начальный объем камеры Wk , а его текущее значение через W, то очевидно W=Wk+Sx, где х-путь поршня, пройденный по стволу.
Для цилиндрической трубы
а в случае камеры переменного сечения
В
частности, при вылете снаряда
,
где Wcт-объем
ствола установки.
Если разделить теперь скорость метания из ствола переменного сечения на ск. метания из цилиндрич. ствола при одинаковых значениях П=m1/m, К и Wcт./W=N, то можно получить результат, приведенный на рис.
φу
R/r~3-6
m1/m=1-10
k=1,22-
1,67
1,2
1
0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W/Wк
Как видно, при малых одинаковых степенях расширения скорость метания из «бутылочной» камеры выше, чем из цилиндрической на 10-20%. Затем это преимущество падает и при степени расширения порядка 10 практически сводится к нулю.
Положительное влияние, оказываемое «бутылочностью» на скорость метания, связано с тем, что при одинаковом объеме заснарядного пространства «бутылочная» камера короче цилиндрической, и поэтому процесс отражения волн разрежения и выравнивание давления вдоль камеры происходит более интенсивно. Волновые процессы в «бутылочной» камере выражены более ярко, чему способствует процесс отражения волн от горловины камеры.