2.3. Решение уравнений.

Известно, что использование разносторонних схем для решения уравнений требует кропотливого труда при программировании и большого объема вычислительных работ . Иногда целесообразно рассматривать точный г/д расчет как эталонный, поверочный расчет, а в начале производить предварительный выбор параметров.

Здесь можно пойти двумя путями

1. Можно исходить из более простых уравнений классической внутренней баллистики, внеся в них некоторые изменения и уточнения, которые можно взять из анализа данных г/д расчетов.

2. Можно положить в основу расчета какое-нибудь точное решение уравнений газовой динамики и учесть остальные факторы рядом коэффициентов.

Сами коэффициенты должны быть определены из нескольких сравнений точного полного частного решения задачи с выбранным решением. Рассмотрим более подробно это направление.

Скорость метания из баллистической г/д установки можно представить в виде

V=V₁+φ₁ φ₂ φ₃ a₀·f(П,к, )

Здесь а₀-начальная скорость звука в метающем легком газе

f(П.к, )-полное численное решение задачи Лагранжа для идеального газа и трубы постоянного сечения, -относительная координата поршня.

Коэффициенты φ_i учитывают форму камеры, реальные свойства газа, тепловые потери на трение, индивидуальные особенности установки (например, отход поршня и т.д.).

2.4. Численные методы решения.

Следует сказать, что во многих областях современной науки возникают задачи, включающие в качестве существенного элемента уравнения газовой динамики. Они являются нелинейными и единственным эффективным и универсальным способом их решения в настоящее время являются численные методы, основанные на использовании ЭВМ. Как известно при численном решении задач газовой динамики конечных разностей непрерывная среда заменяется некоторой дискретной моделью, а дифференциальные уравнения системой алгебраических соотношений (разностной схемой). Но разностная схем, аппроксимирующая дифференциальную задачу, может быть построена неединственным образом. Поэтому возникает проблема конструирования оптимальных в определенном смысле разностных схем. Следует сказать, что отдельные разделы газовой динамики развиваются достаточно давно и весьма интенсивно, получено много важных, интересных и «изящных» результатов, и тем не менее, общих методов решения этих уравнений представляет один из важных вопросов для многих разделов современной науки.

Свойства того или иного алгоритма для расчета задач газодинамики, как правило, трудно оценить теоретически. Поэтому при анализе качества схемы большая роль отводится численному экспериментированию. Применяемость такой или иной разностной схемы для решаемых задач существенным образом определяется конкретными граничными условиями.

Основу г/д уравнений составляют законы сохранения . Ознакомимся с типичными разностными схемами применяемыми для решения г/д задачи запишем уравнения сохранения в дивергентной форме. Для одномерного течения невязкого нетеплопроводного газа в таком обобщенном виде

ρ ρU

; U= ρU ; F= P+ρU²/2

Es U(Es+ P)

где Es-удельная энергия : Es=ρ[e+U²/2], остальные величины являются общепринятыми.

Сейчас кратко охарактеризуем некоторые широко используемые схемы. Основные положения построения разностных схем вам изложены в теоретической гидродинамике.

Лакс и Вендрофф [1960;1964] разработали класс схем, который позволил достигнуть значительного прогресса в теоретическом изучении разностных методов и привел к разработке класса двухшаговых систем. Следовательно Рихтмайеру (1863г), стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение вряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса-Вендрофа или схемой типа Лакса-Вендрофа и т.д. Представляется, что это слишком широкая и несколько неточная классификация : она объединяет множество схем в том числе и схему Мак-Кормака, с помощью которой получены замечательные результаты. В настоящее время схема Мак-Кормака весьма широко применяется американскими исследователями для расчета аэродинамических задач.

Во всех этих схемах для осуществления сквозного счета при наличии сильных скачков, как и в других известных вам схемах, вводится искусственная вязкость, т.е. добавляются новые члены. Тогда уравнения:

ρ ρU

; U= ρU ; F= P+ρU²-λв

Es U(Es+ P)- λв U

Хорошие результаты получены Галлером (1970г.), который полагал λв=b₁·∆xρ(|U|+a), при этом толщина скачка при расчетах, для отмеченных двухшаговых схем,

составляет ≈2-3∆x, а максимальный всплеск был лишь ≈0,2% при b₁≈0,3 (этот расчет был проведен при отношении давлений на скачке≈10).

Отметим некоторые достоинства численных методов типа Лакса-Вендрофа, а именно:

а) хорошая сходимость и устойчивость

б) простота схемы

в) отсутствие больших трудностей распространения этих схем на многомерные случаи.

Затруднение могут вызвать применение различных граничных условий, выполнение которых необходимо при постановке различных задач.

Однако, при практической реализации нельзя ограничиваться именно этим классом схем. Примером может служить схема Годунова, по которой при решении ряда задач получены хорошие результаты.

Отметим еще ряд методик, используемых методов.

1. Метод характеристик

Этот метод является наиболее известным разностным методом. Этот метод дает детальное описание течения газа. Регулярный и единообразный счет по этому методу возожжен только в областях гладкости течения. Наличие разрывов приводит к сильному усложнению этих методик. Так в трудах ВЦ МГУ делается вывод о нецелесообразности его использования в задачах с многократным прохождением уд. волн по области газа.

2. Метод СЭЛ.

Этот метод разработан около 30 лет назад американскими исследователями и изложен в книге «Вычислительная гидродинамика» под ред. Харлоу 1967г.

Характерной чертой данной методики является ее сложность, громоздкость разностной схемы. Поэтому не будем на этом методе останавливаться. Кого заинтересует этот метод может обратится к указанному источнику. Насколько мне известно, этот метод хорошо практически лишь в одном институте прикладной математики в Томске.

3.Метод частиц в ячейках.

Суть метода заключается в том, что вся рассматриваемая область разбивается на интервалы и для них записываются законы сохранения. В конечном итоге задача сводится к решению уравнений в обыкновенных производных. Более подробно этот метод Вас должны изложить в теоретическом курсе гидрогазодинамике.

4.Метод расчета на основе схемы «Крест»

По этой схеме решаются задачи, записанные в Лагранжевых массовых переменных. В качестве аргумента например в одномерной задаче выбирается массовая переменная.

Целесообразность использования массовых переменных Лагранжа определяется особенностями изучаемого течения, прежде всего граничными условиями.

Более подробно рассмотрим этот метод, также как и Лакса-Вендрофа, при решение задач взрывного ствольного метания.

Существуют и другие методы.

Короткое резюме.

1. Уравнения газовой динамики в силу их нелинейности решаются численными методами с помощью разнообразных схем.

2. Поскольку разностная схема может быть построена неединственным способом. то встает проблема конструирования оптимальных схем.

3. Общих методов решения г/д задач в настоящее время не существует.

4. Необходимым элементом для проверки конечно-разностных схем должны быть тестовые задачи.

5. Применяемость той или иной разностной схемы определяется решаемой задачей и численным экспериментом.

Отметим тенденции применения разностных схем к решаемым задачам.

В настоящее время появился целый класс математических задач по оптимизации параметров устройств. Это требует расчета десятков и даже сотен вариантов задачи. При этом, естественно, необходимо разумное время счета одного варианта получения параметров. При этом необходимо также при уменьшении времени счета получить определенную точность решения. А она может задаваться в пределах точности измерений при проведении экспериментальных исследований.

Например, точность замера V~2%, то нет необходимости получать точность расчета например 1%, что приведет к разному возрастанию времени счета.

Поэтому при создании новых устройств, с выходом на экспериментальные установки нет необходимости разрабатывать громоздкие счета.

Такой громоздкий подход может быть интересен с точки зрения математического исследования схем, исследования точности получения решения.