Нечёткое множество и чёткое (crisp) классическое множество

+++++++++++++++

Немного по другому- объединить!

Формальное определение нечеткого множества

В теории множеств есть нес-ко способов задания мн-ва.

Один из них - задание с пом. характеристической функции, определяемой так:

Пусть Χ - универсальное (фундаментальне) множество, из эл-тов которого образованы ВСЕ остальные мн-ва, рассматриваемые в данном классе задач [в данной теории, области знаний или деятельности чел-ка ЕТ -?], напр., мн-во ВСЕХ целых чисел, мн-во ВСЕХ ф-ций определенного класса, мн-во всех автомобилейи т.п.

Более общее определение

Универса́льное мно́жество - в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe,

universal set), реже .

Универса́льное мно́жество (универсум) - нек-рое множество, фиксированное в рамках данной математич. теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории. Напр., для элементарной арифметики У. м. является множество всех целых чисел.

Характеристическая функция множества A  X это ф-ция

, значения которой указывают, является ли элемент x универсального множества X (т.е. x  X) элементом множества A

= 1, если x A

0, если x  A

В класс-й теории мн-в эта ф-ция имеет бинарный характер.

Нечёткие множества есть обобщение обычных множеств, когда принимается, что ф-ция имеет не бинарный характер., а может принимать любые значения на отрезке [ 0, 1].

В теории нечётких множеств эта ф-ия аз-ся ФУНКЦИЕЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ, а ее значение - СТЕПЕНЬЮ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ элемента x нечеткому множеству A.

Таким образом

Нечёткое множество A на универсальном (фундаментальном) множестве Χ определяется как совокупность пар:

,

где - функция принадлежности, которая количественно градуирует принадлежность элементов x универсального множества X множеству A.

Отображение элемента x в значение 0 означает, что этот элемент не принадлежит данному множеству A, значение 1 означает полную принадлежность этого элемента данному множеству.

Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.

Нечёткое множество и чёткое (crisp) классическое множество

……………………………..

Построение функций принадлежности

Можно считать, что функция принадлежности элемента x к нечеткому множеству А - это субъективная мера того, насколько соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством.

Под субъективной мерой понимается степень соответствия элемента х понятию, формализуемому нечетким множеством А , которая определяется опросом экспертов.

При этом степень соответствия – не условная вероятность наблюдения события А при возникновении события х, а скорее возможность интерпретации понятия х понятием А.

Выбор вида функции принадлежности и их параметров определяется в большей степени опытом, интуицией и другими субъективными факторами лица, принимающего решение. Существуют стандартные функции принадлежности (см. Рис. 1 и Табл. 1.2), которые можно выбирать в зависимости от задачи.

Табл. 1.2. Часто используемые функции принадлежности

График	Функция

Задание функции принадлежности осуществляют несколькими способами:

− в ряде случаев исследователь может задать самостоятельно функцию, исходя из личного опыта. Например, проводя сопоставление результатов измерений, выполненных на различных технологических системах, исследователь оперирует качественными факторами и описывает результаты сопоставления словесно;

− в более сложных и ответственных случаях задание функций принадлежности в нечетких подмножествах выполняется с привлечением группы экспертов с последующей обработкой их оценок.