Задание 2

Пример: В бригаде, которая состоит из 10 мужчин и 5 женщин, на дежурство выделяется по списку 3 человека. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы одна женщина?

Решение: Обозначим интересующее нас событие через A.

Первый способ. Требование – среди отобранных на дежурство членов бригады будет хотя бы одна женщина – будет выполнено, если произойдет любое из несовместных событий:

B – среди отобранных на дежурство будет одна женщина;

C – среди отобранных на дежурство будет две женщины;

D – трое отобранных на дежурство членов бригады оказались женщинами.

Событие A можно представить в виде суммы событий B, C и D. По теореме сложения вероятностей, .

Найдем вероятности событий b, c и d (см. Решение примера к заданию 1):

Следовательно,

Второй способ. События (среди отобранных на дежурство будет хотя бы одна женщина) и (среди отобранных на дежурство не будет ни одной женщины) – противоположные. Следовательно, (сумма вероятностей противоположных событий равна единице).

Вероятность события

Тогда, .

2.1. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?

2.2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.6, для второго – 0.7, для третьего – 0.8. Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

2.3. В урне 9 белых шаров и один черный шар. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые?

2.4. В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара:

а) если вынутый шар возвращается обратно в сосуд;

б) если вынутый шар в сосуд не возвращается.

2.5. От группы студентов, состоящей из 14 юношей и 11 девушек, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность того, что среди выбранных буде хотя бы одна девушка?

2.6. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком 0,9, а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) мишень поразит только один из стрелков;

б) хотя бы один из стрелков.

2.7. Студент идет на экзамен, подготовив только 15 вопросов из требуемых 18. Экзаменатор задает студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса.

2.8. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Определить вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

2.9. В тренировках по парным соревнованиям в беге участвуют 6 учащихся из школы №1, 7 из школы №2, 8 из школы № 3. Найти вероятность того, что по жеребьевке в первую пару бегунов войдут два учащихся только из школы №1 или только из школы № 2.

2.10. В урне 2 белых, 3 черных и пять красных шаров. Три шара вынимаются наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.

2.11. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов будет только одно попадание.

2.12. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если выбор считать случайным), что выбраны:

а) два мальчика;

б) две девочки;

в) девочка и мальчик?

2.13. В первом ящике 6 шаров: 1 белых, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных, 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?

2.14. Вероятность покупки мужской обуви 38-го размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из трех первых покупателей обувь этого размера:

а) ни одному не потребуется;

б) потребуется хотя бы одному.

2.15. Вероятность попадания в цель равна 0,9. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет:

а) три попадания;

б) только одно попадание;

в) хотя бы одно попадание.

2.16. В ящике смешаны нити трех цветов: белых – 50 %, красных – 30 %, черных – 21 %. Определить вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется:

а) все нити одного цвета;

б) все нити разных цветов;

в) две нити одного цвета.

2.17. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным.

2.18. Из 30 учащихся в классе 20 сказали, что они любят математику и 16 –историю. Сколько учеников любят оба предмета? Какова вероятность того, что ученик этого класса любит оба предмета?

2.19. Бросают две игральные кости. Найти условную вероятность того, что одна кость показывает шестерку при условии, что другая показывает четверку.

2.20. Учебный отдел проверяет, сколько студентов группы изучают иностранные языки. Было установлено, 5 из 25 студентов изучают английский и немецкий языки, при этом 15 студентов изучают английский язык, 12 студентов изучают язык. Какова вероятность того, что случайно вызванный студент не изучает ни одного иностранного языка?

2.21. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы появление 5 очков хотя бы один раз получило вероятность больше 0,95?

2.22. Вероятность попадания в цель равна 0,8. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет: а) три попадания; б) только одно попадание; в) хотя бы одно попадание.

2.23. Студент пришел на экзамен, зная 15 из 20 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы, если:

а) вопросы были заданы последовательно по мере ответа;

б) все вопросы были заданы сразу.

2.24. Глубинный манометр испытывается на герметизацию. Проводится не более 5 испытаний, при каждом испытании манометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первого выхода из строя манометр ремонтируется, после второго признаётся негодным. Какова вероятность, что манометр будет признан негодным после пятого испытания?

2.25. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,85, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.