Задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация. Симплекс метод. Двойственные задачи, основные теоремы двойственности.
Опр. Существует немало произвольного содержания задач (в основном) в экономике таких, как составление оптимального плана выпуска продукций того или иного ассортимента, оптимальное использование производственных мощностей, оптимальное распределение ресурсов, транспорта, оптимальное планирование смен, оптимальное составление рациона скота, оптимальный раскрой материала и т.д., решение которых возможно только с применением мат.аппарата. Формализация названных задач ведет к мат.модели, названной линейным программированием. Характерной особенностью такой модели является то, что целевая функция (прибыль, расходы, потребности и пр.), которая max-ся (min-ся), есть линейный функционал, а ограничение – линейное равенство или неравенство.
Функционал
(2) – общая задача линейного программирования (ОЗЛП)
F(x) – целевая функция, А- матрица условий, с- вектор стоимости, b- вектор ограничений.
Любое не отрицательное решение системы
(2) является допустимым решением
(допустимым планом).
– условие допустимости
.
Опр. Тот из допустимых планов, который
обращает
называется оптимальным планом.
Конкретная ЗЛП может и не иметь оптимального плана.
Неприятности:
Система (2) м.б. несовместной
Система (2) совместна, но нет ни одного допустимого плана.
Система (2) совместна, есть допустимые решения, но среди них нет оптимального.
Предположим, что система совместна и ее уравнения линейно независимы. Тогда переменных д.б. m<=n. Если m=n, то будет единственное решение.
Пусть n-m=k. Как известно из линейной алгебры какие-то n переменных(базисные) можно выразить через остальные k (свободные переменные) система имеет в этом случае бесконечное множество решений. Придавая свободным переменным произвольные значения и вычисляя соответствующие значения базисных переменных будем получать новые решения.
ЗЛП допускает геометрическую интерпретацию
Ax+By+C=0 - прямая
Ax+By+Cz+D=0 – плоскость
Симплекс-метод с искусственным базисом (M-метод)
В задачах, где нет начального базиса, создаем искусственный базис
Если
в системе ограничений (3) все искусственные
переменные
,
то перейдем к первоначальной системе
ограничений (2).
Поэтому надо формировать такую целевую функцию
max-зация
которой одновременно приводился бы к
max нашей целевой функции
f(x) и при
этом все искусственные переменные
обращались бы нуль.
Для любой задачи ЛП можно составить двойственную к ней задачу по следующим правилам.
Привести исходную задачу ЛП к стандартной форме.
Ввести новые переменные по числу основных ограничений исходной задачи.
Составить новые ограничения из новых переменных в виде линейных неравенств, знаки которых противоположны знакам неравенств исходной задачи, коэффициентами которых служат элементы транспонированной матрицы исходной задачи, а свободными членами - коэффициенты при целевой функции исходной задачи.
Для новых переменных написать условия неотрицательности.
В результате для исходной задачи получим следующую двойственную задачу ЛП:
Задача ЛП относительно двойственной задачи называется прямой задачей ЛП. Векторная форма задачи имеет вид:
Первая теорема двойственности (теорема о существовании решений)
А) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение:
Х*, у* f0(Х*)=g0(у*)
Б) Если одна из двойственных задач не имеет смысла, то другая не имеет решения:
Пусть f0(Х*) , тогда Q =
Пусть g0(у*) , тогда R =
В) Если одна из задач не имеет решения, то двойственная к ней либо не имеет смысла, либо не имеет решения.
Пункт А) следует из теоремы о критерии оптимальности прямой и двойственной задач.
Б), В) смотри геометрическую интерпретацию практических задач.
Вторая теорема двойственности(о свойствах оптимальных решений)
Пусть имеется решение:
Х*, у*, если Х*к >0, то к ограничение. В двойственной ЗЛП при подстановке оптимального решения У* обратится в равенство:
=ck
Если какой-либо Х*L =0, то соответствующие ограничения двойственной задачи будут строго больше СL :
>CL
Если
Ys*>0,
то
=bs
Если
Yr*=0,
то
<
br
X*j(
)=0
(1)
Y*i(
)=0
(2)
Тогда теорема 2 переформулируется:
Для того, чтобы Х* и Y* были оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (1) и (2).
Доказательство:
Необходимость
Х*, Y* оптимальное решение
Доказательсть: выполняются соотношения (1) и (2)
Из критерия оптимальности следует:
f0(Х*)= g0(у*)
f0(Х*)=
=
=
Сгруппируем члены:
=
=0
(2)
bi
=0
(3)
(3) сумма неотрицательных чисел (она равна нулю, когда каждое из чисел равно нулю)
yi*
=0
*(-1)
Получим:
yi*
=0
это (2)
2)Достаточность
Для того, чтобы доказать (1) и (2) необходимо доказать, что x* и y* оптимальные решения, т.е.
f0(Х*)= g0(у*)
Соотношение (1) суммируем по i, а (2) по j
,
yi*=0
=0
f0(Х*)= g0(у*)