Тема 4. Випадкові величини, способи задання, дії над випадковими величинами

1. Поняття випадкової величини

Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випад­кової величини.

Випадковою називають величину, яка в результаті випробування набуває одного із своїх можливих значень, але це значення наперед невідоме і залежить від випадкових причин.

Дискретною називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченним або зліченним¹.

Неперервною називають випадкову величину, яка може приймати всі значення із деякого як скінченого так і нескінченого проміжку. Очевидно, що число можливих значень кожної неперервної величини нескінченне.

Приклади випадкових величин:

1) кількість бракованих деталей в даній партії;

2) кількість викликів, що надійшли на АТС протягом години;

3) тривалість роботи електроприладу до відмови;

4) температура середовища в даний момент часу в даному місці.

У наведеному прикладі перші дві випадкові величини є дискретними. Перша приймає цілі значення від 0 до ( ‑ об’єм партії); їх кількість скін­ченна; ймовірності появи цих значень можна знайти за формулою Бернуллі, знаючи ймовірність появи бракованої деталі. Друга приймає зліченну кількість значень: 0, 1, 2, …, , …; ймовірності появи цих значень визначаються за законом Пуассона. Третя і четверта випадкові величини є неперервними і набувають значень із проміжку ².

2. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Інформації про множину можливих значень випадкової величини недостатньо для її повного опису (різні величини можуть мати однакові можливі значення). Потрібно ще знати, з якими ймовірностями випадкова величина набуває цих значень.

Законом розподілу дискретної випад­кової величини називають перелік можливих значень випадкової величини та ймовірностей , з якими вони приймаються. Закон розподілу дискретної випадкової величини записують у вигляді таблиці

			...
			...

Приймаючи до уваги, що при випробуванні випадкова величина приймає тільки одне із можливих значень маємо, що події , ( ) утво­рюють повну групу, тобто

. (1)

Звідси для ймовірностей розподілу дискретної випадкової величини повинно виконуватися співвідношення

. (2)

Співвідношення (2) називається нормувальною умовою дискретної випад­кової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити графічно, якщо по осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат – відповідні їх ймовірності . З’єднані відрізками точки утворюють ламану, яку називають многокутником розподілу.

Приклад 1. Складальник навмання бере дві деталі із контейнера, в якому знаходиться 20 деталей, серед яких 4 нестандартні. Знайти закон розподілу числа нестандартних деталей серед двох відібраних.

Розв’язання. Нехай ‑ число нестандартних деталей серед двох відібраних. Можливі значення ‑ 0, 1, 2. Знайдемо відповідні ймовірності, використовуючи класичне означення:

; ;

.

Отже, закон розподілу випадкової величини має вигляд:

	0	1	2
	12/19	32/95	3/95

Перевірка: .