32. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Дискретною випадковою величиною називається така величина, множина можливих значень якої або скінченна, або зліченна (множина, елементи якої можуть бути пронумеровані), або це така випадкова величина, що приймає лише окремі (ізольовані) одна від одної значення, які можна пронумерувати. Складемо числову модель такої випадкової величини.

Нехай несумісні події ₁, ₂, …_n утворюють повну групу. Введемо поняття випадкової величини таким чином: якщо відбувається подія _і, то випадкова величина Х набирає значення  х_і (і= ). Отже Х є функція на множині подій ₁…_n  (і= ), тобто Х(_і)=х_і.

Тепер, замість того, щоб говорити “відбулася подія _і”, ми скажемо “відбулася подія Х=х_і “. Нехай Р(_і) – ймовірність появи події _і Тепер цю ж ймовірність позначимо так:  Р(Х=х_і)=р_і, тобто Р(_і)=Р(Х=х_і)=р_і.

Після такого означення випадкової величини Х, замість того, щоб говорити «маємо повну групу несумісних подій ₁, ₂,…_n  з ймовірностями Р(₁), Р(₂),…Р(_n)», скажемо «маємо випадкову величину Х, яка набирає значень х₁, х₂,…х_n з ймовірностями р₁, р₂, ...р_n». При цьому  .

Найпростішою формою опису випадкової величини є таблиця, яку називають рядом розподілу випадкової величини.

 

 

Отже законом розподілу дискретної випадкової величини називається співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Випадкові величини надалі будемо позначати великими буквами латинського алфавіту Х, Y, Z, ..., а їх можливі значення – малими х, y, z,...

Для наочності ряд розподілу задають графічно: можливі значення випадкової величини відкладають на осі абсцис, а на осі ординат – відповідні ймовірності. Одержані точки з’єднують відрізками прямих і таку фігуру називають полігоном розподілу.

Запишемо закон розподілу для  прикладу 1:

Прикладу 2  :

Прикладу 3:

33. Математичне сподівання двв та його властивості.

Математичне сподівання є важливою характеристикою розміщення випадкової величини, його часто називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину Х, що має всеможливі значення х₁, х₂, …х_n з ймовірностями р₁, р₂^,, …р_n.

Тоді математичне сподівання випадкової величини Х, яке позначають   визначається рівністю:

.          (1)

Якщо дискретна випадкова величина Х приймає нескінченну зліченну множину значень х₁, х₂, …х_n…  з ймовірностями р₁, р₂^,, …р_n… , то її математичне сподівання є:

.          (2)

Отже, математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Надалі поряд з позначенням   будемо використовувати позначення математичного сподівання через  :

.

Нижче буде показано, що математичне сподівання наближено рівне середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини, і тим точніше, чим більше число спостережень.

Відмітимо найпростіші властивості математичного сподівання.

Властивість 1.  Математичне сподівання постійної величини рівне самій постійній, тобто

.

Доведення. Сталу можна розглядати як дискретну випадкову величину, що набуває лише одне значення   з ймовірністю 1.

Тому  .

Властивість 2.  Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

.

Доведення. Для дискретної випадкової величини маємо:

,

для неперервної:

.

Властивість 3. Математичне сподівання об’єднання двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

.

Наслідок 1.  Математичне сподівання об’єднання скінченного числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

.

Властивість 4.  Математичне сподівання перетину двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

Доведення. Доведення проведемо для дискретної випадкової величини. Якщо   - дискретні випадкові величини,  ,   ,

,

бо величини незалежні.