1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку.

. Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодам та ін. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань. Комбінаторика – гілка математики, що вивчає комбінації та перестановки предметів, - виникла в XVII ст. Довгий час здавалося, що комбінаторика лежить поза основної течії розвитку математики та її застосувань. Хід справ різко змінився після появи ЕВМ та пов’язаним з цим розквіту кінцевої математики. Зараз комбінаторні методи застосовуються в теорії випадкових процесів, статистиці, математичному програмуванні, обчислювальній математиці, плануванні експериментів і т.д. В математиці комбінаторика використовується при вивченні кінцевих геометрій, комбінаторної геометрії, представлень груп, неасоціативних алгебр і т.д.

Принцип добутку і принцип суми.

Двома основними правилами комбінаторики є:

Принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.

Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то AB містить mn елементів, тобто пар.

Кількість елементів множини A будемо далі позначати |A|.

Ці правила мають також вигляд:

Принцип суми. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами, а об'єкт B – n іншими способами, то вибір "або A, або B" можна здійснити m+n способами.

Принцип добутку. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами і після кожного такого вибору об'єкт B може бути вибраним n способами, то вибір "A і B" в указаному порядку можна здійснити mn способами.

Наведені правила очевидним чином узагальнюються на випадки довільних скінченних об'єднань множин, що попарно не перетинаються, та на скінченні декартові добутки.

Правило добутку застосовується для підрахунку кількості об'єктів, що розглядаються як елементи декартових добутків відповідних множин. Отже, ці об'єкти являють собою скінченні послідовності – пари, трійки тощо.

Нагадаємо, що з точки зору математики послідовність довжини m елементів множини A – це функція, яка натуральним числам 1, 2, …, m ставить у відповідність елементи з A.

2. Перестановки без повторення .

Перестановка n елементів множини A без повторень – це розміщення по n елементів, тобто послідовність елементів множини A, що має довжину n і попарно різні члени.

Приклад. При A={a, b, c} усі перестановки –це трійки (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

Очевидно, що кількість перестановок n елементів дорівнює кількості розміщень по m при m=n, тобто n!. Отже, nⁿ=n!.

Поняття перестановки, формули числа перестановок (без повторення) з n елементів.

Коли ми говорили про множину, то порядок розміщення еле­ментів в множині не враховувався. Нерідко розглядають і впо­рядковані множини.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з п елементів, називається перестановкою з п елементів і позначається Рп.

Таким чином, перестановки з п елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.

Два елементи а і b можна упорядкувати двома способами: ab і bа. Це дві перестановки з елементів а і b.

Отже, Р₂ = 2.

Щоб утворити перестановки з трьох елементів а, b, с можна третій елемент с помістити попереду пари аb_, посередині пари аb та вкінці париаb:

саb, асb, аbс.

Точно так із пари bа можна одержати:

сbа, bса, bас.

Отже, для трьох елементів існує 2×3 = 6 способів розташу­вання по порядку, число перестановок з трьох елементів дорів­нює 6.

Отже, Р₃ = 2 – 3 = 6.

Нехай маємо k елементів, із яких складені всі можливі Р_k перестановки. Візьмемо одну із них: а₁а₂а₃...а_k. Добавимо ще один (k + 1) -й елемент. Його можна помістити:

1)  перед першим елементом а₁;

2)  перед другим елементом а₂;

3)  перед третім елементом а₃;

.......................................................

k) перед k-им елементом а_k.

 k + 1) в кінці всіх елементів, тобто, всього k + 1 способом.

Отже, кількість перестановок із k + 1 елементів в (k + 1) раз більша, ніж число перестановок із k елементів, тобто,

Pk+1 = Pk×(k +1)

п	п!
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362 880
10	3 628 800

Отже,                                                                                                                                     Таблиця 14

Р₁ = 1;

Р₂ = Р₁ × 2 = 1 × 2 = 2;

Р₃ = Р₂ × 3 = 1 × 2 × 3 = 6;

Р₄ = Р₃ × 4 = 1 × 2 × 3 × 4 = 24;

Р₅ = Р₄ × 5 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120;

………………………………….

Р_k = Р_{k - 1} × k = 1 × 2 × 3 × ... × k ;

Р_{k + 1} = Р_k  × (k + 1) = 1 × 2 × 3 × ... × k × (k + 1);

 

Добуток натуральних чисел від 1 до даного натурального числа п називається факторіалом числа п і позначається п!

 В таблиці 14 наведено значення факторіала для значень п від 1 до 10.

Число перестановок з п елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n, тоб­то n! (читають: ен факторіал).

Pn= 1 × 2 × 3 × ... × n = n!