Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Білети по ОВМ.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.63 Mб
Скачать

7. *Задача визначення аналітичної залежності між різними величинами. Гіперболічна та параболічна залежність.

Задача визначення аналітичної залежності ( див. у попереднє питання)

Параболічна залежність

Нехай функціональна залежність між та ─ квадратична. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді

. (8)

Тоді формулу (2) запишемо наступним чином

Для знаходження коефіцієнтів , , , за яких функція мінімальна, обчислимо частинні похідні , , і прирівняємо їх до нуля. В результаті дістанемо систему рівнянь

Після рівносильних перетворень маємо систему

(9)

Розв’язок цієї системи і визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол (8) подає на розглядуваному проміжку задану таблично функціональну залежність.

Сформулюємо аналітичний критерій для квадратичної залежності. Для цього введемо поділені різниці першого і другого порядку

і , де .

Точки розміщені на параболі (8) тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядку зберігають сталі значення.

Якщо точки рівновіддалені, тобто , то для існування квадратичної залежності (8) необхідно і достатньо, щоб була сталою скінченна різниця другого порядку , причому .

Гіперболічна залежність

У гіперболічній залежності замінимо змінні , . Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну ( ), в якій , .

Москвіна ю

8. Застосування функції багатьох змінних у соціально-економічній сфері.

  1. Линейно-однородные производственные функции

При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики. Поэтому в макроэкономике Y рассмат­ривают как функцию двух независимых переменных К и L:

Y = F (K, L ).

При моделировании экономической деятельности отдельного предприятия, цеха и т. п. через Y обозначают объем выпускаемой продукции.

Как в макроэкономике, так и в микроэкономике часто предпо­лагают, что при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е.

F(0, L) = 0, F(K, 0) = 0.

Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз. Математически это можно записать так:

F(m К, т L) = т F(K, L), т>0.

(16.1)

Так, если т = 2 (вдвое увеличены затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза. Функции, обладающие свойством (16.1), называют линейно­однородными.

Наиболее широкое применение имеют две из линейно-одно- родных функций — функция Кобба-Дугласа и функция с посто­янными пропорциями.

Функция Кобба—Дугласа. Функцией Кобба-Дугласа на­зывается производственная функция следующего вида

(16.2)

  • = Y0KaL1-a, 0 <a < 1.

ДУГЛАС (Douglas) Пол Говард (1892-1976) — американский эко­номист. В 1947 г. совместно с математиком Ч. Коббом разработал производственную функцию, получившую впоследствии название функции Кобба-Дугласа. Функция Кобба-Дугласа установила мате­матическую зависимость роста национального дохода от изменений двух факторов производства — капитала и труда. Дуглас совместно с Коббом провел одно из первых эконометрических исследований динамики национального дохода, использовав американскую стати­стику 20-30-х гг. XX в.

КОББ (Cobb) Чарльз — американский математик, разработавший совместно с П. Дугласом концепцию производственной функции.

При К = 0 результат функционирования экономического объекта

  • = У0 • 0 • L1-a= 0.

К такому же выводу приходим и при L = 0, т. е. оба ресурса абсолютно необходимы.

Если в функции Кобба-Дугласа переменные К и Lувели­чить в m раз, то в такое же количество раз возрастет и Y.

Действительно,

F(m K,mL) = Y0 (m K)a(m L) 1-a =

= Y0 ma Ka m1-a L1-a = m F(K, L).

Знание параметров Yqhа функции Кобба-Дугласа позволяет делать приближенные прогнозы значений национального дохо­да. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры функции Кобба- Дугласа: Yо — 1,022, а = 0,5382. При подстановке фактических значений К и L за 1986 год ошибка прогноза составила 3% .

Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба-Дуг­ласа иногда вводят дополнительный множитель , который характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-тех­нического прогресса:

У = Уо Ка Lb.

Требование а + (3 = 1 здесь является необязательным. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа с учетом научно- технического прогресса. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., функция имела вид:

Функция с постоянными пропорциями. Функцию с по­стоянными пропорциями выбирают тогда, когда один из ресурсов производства дефицитен, а второй избыточен. Такая функция содержит в себе понятие рациональной пропорции между двумя ресурсами. Этим объясняется ее использование в балансовых моделях планирования.

Простейшая функция с постоянными пропорциями задается с помощью формулы

Как видно из формулы, если один из ресурсов, напри­мер избыточен, то его увеличение не является разум­ным, так как оно не отразится на величине У, а приводит лишь к дополнительным расходам.

Свое название функция получила так потому, что для увели­чения У и недопущения лишних расходов необходимо увеличи­вать оба ресурса в постоянной пропорции.

Задача 1. Показать, что функция с постоянными пропор­циями является линейно однородной, т. е. удовлетворяет соотно­шению

Р(т К, т L) = т Р(К, L), т > 0.

Задача 2. Показать, что функция с постоянными пропорци­ями удовлетворяет соотношениям

F(0, т L) = F(K, 0) =0

2.3.ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ(3 ЧАСТИНА ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ )