Басараб ж.

5. Властивості визначників.

Властивість 1. Визначник квадратної таблиці A порядку n дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення до елементів цього ж рядка (стовпця).

, для всіх ; (7)

або , для всіх . (8)

Зауваження. Формули (7) та (8) називають відповідно формулами розкладу визначника за елементами рядка ( в даному випадку i-го ) та по елементах стовпця ( в даному випадку j-го ).

Властивість 2. Визначник не змінюється в результаті проведення операції транспонування, тобто . (9)

Дійсно будь який член визначника (2) має вигляд

, (10)

де другі індекси утворюють деяку перестановку з символів 1,2,…,n. Але усі співмножники добутку (10) і у визначнику (6) залишаються в різних рядках і різних стовпчиках, тобто (10) є одночасно і членом визначника (6). Справедливе , очевидно, і обернене твердження, тому визначники (2) і (6) складаються з одних і тих же членів. Знак члена в (10) у визначнику (2) визначається парністю перестановки по других індексах, а у визначнику (6) перші індекси вказують на номер стовпчика, другі - на номер рядка , тому знак буде визначатись парністю тієї ж перестановки, лише по перших індексах. Отже, знак (10) в обох визначниках буде однаковим .

Властивість 3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника рівні нулеві, то визначник дорівнює нулеві.

Властивість 4. Спільний множник деякого рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

Властивість 5. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків , то такий визначник рівний сумі двох визначників в першому з яких на місці відповідного рядка (стовпця) є перші доданки, в другому – другі.

Приклад:

Властивість 6. Визначник, в якого відповідні елементи двох рядків (стовпців) рівні між собою, дорівнює нулеві.

Наслідок. Визначник, в якого відповідні елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулеві.

Властивість 7. Визначник не змінює свого значення, якщо до всіх елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) помножені на одне й те ж число.

Ця властивість випливає з властивості 5 та 6 .

Властивість 8. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

Ця властивість випливає з властивості 7 та наслідку з властивості 4 .

Властивість 9. Сума добутків всіх елементів будь якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка (стовпця) рівна нулеві.

Властивість 7 широко застосовується для обчислення визначників. За допомогою цієї властивості в деякому стовпці або рядку утворюють якомога більше нулів, щоб у формулі (7) або (8) було менше доданків.

Приклад: Обчислити визначник четвертого порядку.

Утворимо нулі, наприклад, в другому рядку. Для цього домножимо спочатку перший стовпець на (-1) і додамо до третього. Результат записуємо в третьому стовпці, а перший стовпець залишається без змін. Після цього домножимо перший стовпець на (-2) і додамо до четвертого. Результат запишемо в четвертому стовпці. Таким чином, в другому рядку будуть всі нулі за винятком першого елементу.

Ми використали формулу 7 при . Одержаний визначник третього порядку, обчислимо тим самим методом. Утворимо нулі, наприклад, в першому стовпці. Для цього другий рядок домножимо на 2 і додамо спочатку до першого, а потім до третього

Ми тут використали формулу (8) при , наслідок з властивості 4 та формулу для обчислення визначника другого порядку.

6. Мінори та алгебраїчні доповнення (означення, приклади, застосування).

Нехай задано визначник -го порядку . Означення 1. Мінором -го порядку визначника називається визначник -го порядку, утворений з елементів визначника , що знаходяться на перехрещенні виділених рядків і стовпців визначника . Означення 2. Доповняльним мінором мінора називається визначник порядку , отриманий з визначника викресленням тих рядків і тих стовпців, що входять у мінор . Означення 3. Алгебраїчним доповненням мінора називається, доповняльний мінор , взятий зі знаком , де – сума номерів рядків і стовбців, у яких знаходиться .