Коротя в

45. Поняття числового ряду. Збіжність та розбіжність ряду, сума ряду, гармонійний ряд та геометрична прогресія.

Нехай задана нескінченна послідовність чисел  Нескінченна сума чисел виду  - називається числовим рядом, а числа  - членами ряду.

Ряд позначають так:

Вираз для  - го члена ряду при довільному натуральному  > , називається загальним членом ряду і позначається  .

Загальний член ряду можна задати формулою  , з допомогою якої записується довільний член ряду.

Суму   перших його членів позначають через :

і прийнято називати  -ою частинною сумою ряду.

Часткові суми ряду утворюють деяку числову послідовність його часткових сум  . Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум  , тобто якщо існує скінчена границя

Число   при цьому називають сумою ряду і записують

При цьому вважають також, що ряд збігається до числа  .

Якщо послідовність часткових сум ряду розбігається, то ряд називається розбіжним. У цьому випадку ряд не має суми.

Ряд, що складений з елементів геометричної прогресії називається геометричним рядом:

Число   — знаменник геометричної прогресії.

Позначимо   сума   перших членів прогресії та знайдемо її значення:

Звідси отримуємо

Якщо  , то

геометричний ряд збігається.

Якщо  , то

Якщо  , то

Якщо  , то

таким чином, послідовність   - розбіжна.

Ряд вигляду

називається гармонічним рядом. Він розбіжний.

Числовий ряд вигляду

називається узагальненим гармонічним рядом. Доведено, що при   узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при   -ряд збігається.

Якщо ряд збігається, то різниця між сумою   і частинною сумою його 

називається   -им залишком ряду.

Залишок   ряду являє собою ту похибку, яка одержиться, якщо замість наближеного значення суми ряду  взяти суму перших   членів цього ряду. Але оскільки   є границя суми  , то для збіжного ряду виконується

46. Достатні ознаки збіжності ряду, ознака порівняння.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з додатними членами

 

Для них виконуються наступні твердження:

1. Якщо члени ряду   не більші відповідних членів   збіжного ряду   ( ), то ряд  збігається.

Якщо кожний член ряду   більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду  , то ряд   розбігається.

47. Достатні ознаки збіжності ряду, ознаки Доломбера та Коші.

Ознака Даламбера

Нехай члени ряду

додатні і відношення  -го члену до  -го має сінченну границю при 

Якщо , то ряд збігається.

Якщо   - ряд розбігається.

При  треба застосовувати іншу ознаку збіжності, оскільки дана ознака не може визначити чи збіжний ряд чи розбіжний.

Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду   з додатними членами існує границя

то при   ряд збіжний, а при   - розбіжний.

При  потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності.

Інтегральна ознака Коші

Нехай задано ряд

причому   додатна, неперервна і монотонно спадна функція від  .Тоді

1) ряд  збіжний, якщо невластивий інтеграл

збіжний;

2) ряд розбіжний, коли інтеграл розбіжний.

Під збіжністю інтегралу слід розуміти його обмеженість, тобто