Замелацков а

37. Однорідні рівняння. Поняття однорідної функції.

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

или через дифференциалы:

где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.

38. Лінійні рівняння 1-го порядку. Метод Бернуллі.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит  и  в первой степени, то есть имеет вид  .

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида  , где  и  .

Эти уравнения решают с помощью подстановки  .

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. Это уравнение является уравнением Бернулли. Решим это уравнение с помощью подстановки  . Тогда  . Подставляя  и  в уравнение, получим:  . Преобразуем это уравнение к виду  . Найдем функцию  , полагая в последнем уравнении . Тогда       (мы нашли одну из первообразных функции  ). Подставляя найденную функцию  в уравнение относительно  и , получим   или  .

Разделяем переменные и находим функцию  :

.

Возведя  в квадрат, находим

.

39. Диференційні рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид  или  .

Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция  , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

40. Диференційні рівняння вищих порядків.

Нехай задано диференціальне рівняння  го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:

 . (12.25)

Загальний розв’язок рівняння  го порядку має вигляд

де  - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі 

його називають загальним інтегралом.

Істоміна л

41. Линейные неоднородные второго порядка с постоянными коэффициентами. Пусть требуется найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у" + РУГ + ЯУ = f{x). Напомним, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения у" + ру' + qy = О и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения . Если Уоди = Ci yi(x) + С2У2(х) есть общее решение уравнения, а у — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то общее решение выражается формулой У = УоАн + У. Метод неопределенных коэффициентов. В предыдущем параграфе рассмотрен способ нахождения общего решения уравнения. Следовательно, остается указать способ нахождения какого-либо частного решения заданного уравнения. Рассмотрим способ отыскания частного решения методом неопределенных коэффициентов. Этим методом можно пользоваться в нескольких случаях. Рассмотрим случай, когда функция f(x) из правой части представляется в виде f(x) = emxPn(x), где Рп(х) — многочлен n-й степени. Теорема 1. Если т не является корнем характеристического уравнения k2 +рк + q = О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вид y = emxQn(x), где Qn(x) — многочлен п-й степени с неопределенными коэффициентами. Если т — корень характеристического уравнения k2 +рк + q = О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вид y = xremxQn(x), где г = 1 или 2, смотря по тому, совпадает т с одним из корней характеристического уравнения или же с каждым из двух равных корней характеристического уравнения. V Пример 1. Найти общее решение уравнения у"-7у' + Юу = 4е3я\ Решение. Находим общее решение уравнения без правой части у//-7у/ + Ю = 0. Характеристическое уравнение к2 -7 к + 10 = О имеет корни к\ = 2 и к2 = 5. Общее решение однородного уравнения таково: УоД„ = С1 е2х + С2е5х. Рп{х) — 4 — многочлен нулевой степени, т = 3 не совпадает ни с одним из из корней характеристического уравнения. Поэтому частное решение у следует искать в виде А е3 ж, т. е. У = Ае3х, где А — неопределенный коэффициент, который нужно найти. Дифференцируя это равенство, находим: ^ = ЗЛе3ж, у" = 9Ле3ж. Подставим 1/, у1 и у" в левую часть исходного уравнения и определим значение коэффициента А: 9 А е3ж - 21 А е3ж + 10 А е3ж = 4 е3ж; -2 Л = 4; Л = -2. Следовательно, частное решение 1/ = А е3ж = — 2 е3ж, а общее решение у = С1е2х + С2е5ж -2е3ж.

Метод неопределенных коэффициентов применим только в тех случаях, когда правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения, т. е. функция f(x), является либо многочленом, либо показательной функцией, либо синусом или косинусом (этот случай нами не рассматривался), либо произведением этих функций. В тех случаях, когда правая часть f(x) отлична от названных выше функций, применяют так называемый метод вариации произвольных постоянных. Метод вариации произвольных постоянных. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, позволяющим решать неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Сущность метода заключается в следующем. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Пусть общим решением соответствующего однородного уравнения будет функция 2/одн = С1У1(х) + С2у2(х), где yi(x) и у2(х) — два линейно независимых частных решения однородного уравнения, а С\ и С2 — некоторые произвольные постоянные. Заменим в общем решении постоянные С\ и С2 некоторыми функциями С\(х) и С2(х) так, чтобы У = С1(х)у1(х) + С2(х)у2(х) (18.18) стало решением неоднородного уравнения. Другими словами, будем искать частное решение уравнения в виде, т. е. в виде копии функции, в которой осуществлена вариация (видоизменение) произвольных постоянных произвольными функциями. Найдем условия на функции С\{х) и С2(х), при которых становится решением неоднородного уравнения. Если у есть решение неоднородного уравнения (18.13), то при подстановке в левую часть этого уравнения у, у1 иуП получим тождество. Дифференцируя (18.18), имеем у' = С[(х) У1(х) + С\(х) у[(х) + С'2{х) у2(х) + С2(х) у'2(х), или у' = [С[(х) У1(х) + С'2{х) у2(х)] + Ci(x) у[(х) + С2(х) у'2(х). Выберем функции С\(х) и С2(х) так, чтобы сумма в квадратных скобках была равна нулю, т. е., чтобы имело место равенство С[(х)У1(х) + С2(х)у2(х) = 0. (18.19) Тогда у' = С1(х)у[(х) + С2(х)у'2(х). Дифференцируя еще раз, находим у": у" = С[(х) у[(х) + Ci(x) у'Цх) + С'2{х) у'2(х) + С2(х) у'2\х).

Подставив г/, у1 и у11 в левую часть неоднородного уравнения (18.13), получим С[(х) у[(х) + С\(х) у'{(х) + С'2{х) у'2(х)+ + С2(х) у'Цх) + р d(x) у[(х) + р С2(х) у'2{х)+ + qCi(x)y1(x) + qC2(x)y2(x) = f(x). Или, группируя члены, получим: Сг(х) [y'i(x) + py'1(x) + qy1(x)] + + С2(х) [y2,{x)+py'2{x) + qy2{x)] + + Cl{x)y'l{x) + C,2{x)y,2{x) = f{x). Так как у\{х) и у2(х) являются решениями однородного уравнения (18.14), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно, С[(х) у'г(х) + С'2{х) у'2(х) = f(x). (18.20) Итак, для нахождения неизвестных функций С±(х) и С2(х) надо решить совместно систему уравнений (18.19) и (18.20). Таким образом, метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения неоднородного решения состоит из двух этапов: На первом этапе находятся неизвестные функции С[(х) и С'2(х) из системы уравнений (18.19) и (18.20): С\{х) у\{х) + С'2(х) у2{х) = 0, C[(x)y'1(x) + C^x)y'2(x) = f(x). На втором этапе по найденным функциям С[(х) и С'2(х) с помощью интегрирования отыскивают С\(х) и С2(х) и подставляют в представление для частного решения у = d(x) г/1 (ж) + С2{х) у2(х). V Пример 5. Найти общее решение уравнения Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Следовательно, к2+ 1 = 0. а = 0, /3 = 1. Поэтому частными решениями однородного уравнения у" + У = о являются функции yi = cos ж, у2 = sin ж, а общее решение однородного уравнения есть функция У одн = С\ cos х + С2 sin ж. Таким образом, частное решение заданного уравнения имеет вид у = С\(х) cos х + С2(х) sin ж, где функции С\{х) и С2{х) находятся из системы уравнений 'С[(х) cosх + С2(х) sinх = О, -С{(ж) sinх + С'2{х) cosх = —^ sin х Умножая первое уравнение этой системы на sin ж, а второе на cos х и суммируя их, получаем С'2(х) sin2 х + С'2(х) cos2 х = sin X т. е. С2\х) =--• sin Ж Интегрируя находим С2(х) = In | sin х\ (здесь не пишем In | sin х \ + С, так как ищется не общее, а частное решение. Поэтому можно считать, что С = 0). Подставляя С2\х) =-- sin X в первое из уравнений данной системы, получаем С[(х) cos х + cos х = О, откуда С[(х) = -1. Следовательно, С\(х) = —х. Таким образом, частное решение заданного дифференциального уравнения представляет функцию у = —х cos х + sin х In I sin x|, а общее решение — функцию у = (Ci — х) cos х + (С2 + In I sin x\) sin x. A Задача 4. Найти общее решение уравнения у" + 4у = - sin2 X Ответ: у = (С\ — In | sin х\) cos х + (С2 — ^ ctg х — х) sin ж. 42. Использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере 16.1. Линейно-однородные производственные функции. При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики. Поэтому в макроэкономике Y рассматривают как функцию двух независимых переменных К и L: При моделировании экономической деятельности отдельного предприятия, цеха и т. п. через Y обозначают объем выпускаемой продукции. Как в макроэкономике, так и в микроэкономике часто предполагают, что при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е. Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз. Математически это можно записать так: Y = F(K, L). F(0, L) = 0, F(K, 0) = 0. F(mK, mL) = m F(K, L), m > 0. Так, если m = 2 (вдвое увеличены затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза. Функции, обладающие свойством (16.1), называют линейно-однородными. Наиболее широкое применение имеют две из линейно-однородных функций — функция Кобба-Дугласа и функция с постоянными пропорциями. Функция Кобба—Дугласа. Функцией Кобба-Дугласа называется производственная функция следующего вида У = Уп Ка L1 О < а < 1. При К = 0 результат функционирования экономического объекта у = у0 . О • Ll~a = 0. К такому же выводу приходим и при L = 0, т. е. оба ресурса абсолютно необходимы. Если в функции Кобба-Дугласа переменные К и L увеличить в m раз, то в такое же количество раз возрастет и Y. Действительно, F(m K,mL) = Y0 (m K)a (m L)l~a = Y0 ma Ka ml~a Ll~a = m F(Ar, L). Знание параметров Yqh a функции Кобба-Дугласа позволяет делать приближенные прогнозы значений национального дохода. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры функции Кобба-Дугласа: Уо — 1,022, a = 0,5382. При подстановке фактических значений К и L за 1986 год ошибка прогноза составила 3% . Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба-Дуг-ласа иногда вводят дополнительный множитель ept, который характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-технического прогресса: Y = Y0ept Ка ZA Требование а + (3 = 1 здесь является необязательным. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа с учетом научно-технического прогресса. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., функция имела вид: у — I е0,0294? ^0,9749 ^0,2399 Функция с постоянными пропорциями. Функцию с постоянными пропорциями выбирают тогда, когда один из ресурсов производства дефицитен, а второй избыточен. Такая функция содержит в себе понятие рациональной пропорции между двумя ресурсами. Этим объясняется ее использование в балансовых моделях планирования.Простейшая функция с постоянными пропорциями задается с помощью формулы y = f(k, t)-y„ mln{?,?}. Как видно из формулы, если один из ресурсов, например L, избыточен, то его увеличение не является разумным, так как оно не отразится на величине У, а приводит лишь к дополнительным расходам. Свое название функция получила так потому, что для увеличения Y и недопущения лишних расходов необходимо увеличивать оба ресурса в постоянной пропорции. Задача 1. Показать, что функция с постоянными пропорциями является линейно однородной, т. е. удовлетворяет соотношению F(m К, т L) = т F(K, L), га > 0. Задача 2. Показать, что функция с постоянными пропорциями удовлетворяет соотношениям F(0, mL) = F(K, 0) = 0.

44. Модель социального взаимодействия Саймона Модель Саймона является формализацией некоторых постулатов теории малых групп Д. Хоманса. Эти постулаты согласно Д. Хомансу таковы: 1. Если деятельность изменяется, то взаимодействие, вообще говоря, также изменяется, и обратно. 2. Лица, которые часто взаимодействуют друг с другом, стремятся любить друг друга. 3. Если взаимодействие между членами группы часто осуществляется во внешней системе, чувство любви между членами растет, и это чувство, в свою очередь, способствует проявлению взаимодействия во внешней системе. 4. Лица, которые имеют чувство любви друг к другу, будут выражать это чувство сверх деятельности внешней системы, и эта деятельность в дальнейшем будет усиливать чувство любви. 5. Чем более часто люди взаимодействуют друг с другом, тем более в некотором отношении они становятся похожими как в своей деятельности, так и в чувствах. Саймон осуществил «перевод» постулатов Хоманса в следующую математическую модель: „ а . Если — > 1, то т V га) —> оо (равновесие неустойчиво). В ре- Т = oi Е + а2 W, (21.20) (21.21) tW) + c2(F -W), (21.22) где T(t) — интенсивность взаимодействия среди членов группы; I(t) — степень дружелюбия среди членов группы; W(t) — уровень деятельности, выполненной группой; F(i) — объем внешненавя-занной деятельности («внешняя система»). Уравнение (21.20) — алгебраическое (структурное). В этом уравнении Т выражается как функция I и\У. Из этого уравнения вытекают постулаты Хоманса о взаимосвязи между степенью дружелюбия среди членов группы (/), уровнем деятельности, выполненной группой (W) и интенсивностью взаимодействия среди членов группы (Т). Для того чтобы получить постулаты Хоманса о связи этих факторов с объемом внешней деятельности (F), подставим уравнение (21.20) в (21.21). Получим дифференциальное уравнение, которое вместе с уравнением (21.22) образует систему двух дифференциальных уравнений с тремя переменными, две из которых (/ и W) экзогенные (модель должна объяснить их динамику), а одна (F) — эндогенная (она влияет на процесс, но сама не зависит от него). В матричной форме эта система двух уравнений от двух экзогенных переменных запишется в виде а числовая матрица А = выражена соответствующим образом через семь свободных параметров (ai, a2, ci, с2, 6, /3, т). Решение этой системы в матричной форме имеет следующий вид: Саймон исследовал систему (21.23) в условиях устойчивого равновесия (числовым аналогом этого является случай А < 0). Анализ решения (21.24) позволяет заключить, что рост В ведет к росту X и обратно, т. е. увеличение объема деятельности, навязываемой внешней системой, увеличивает степень дружелюбия среди членов группы и внутригрупповую деятельность. Обратно, увеличение степени дружелюбия и внутригрупповой деятельности способствует проявлению взаимодействия во внешней системе. Другой вывод из модели: если система находится в устойчивом равновесии и внешняя деятельность В стремится к нулю, то X также стремится к нулю. Этот вывод также согласуется dX(t) dt = AX(t) + B, (21.23) где X(t) = eAtX(0) + (eAt - E) A~l B.