Задачи для самостоятельного решения

1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

   1. X -4 6 10 б) X 0,21 0,54 0,61

p 0,2 0,3 0,5 p 0,1 0,5 0,4

2) Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x₁=4 с вероятностью p₁=0,5; x₂=6 с вероятностью p₂=0,3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что математическое ожидание M(X)=8.

3) В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

4) Найти дисперсию и стандартное отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X -5 2 3 4

p 0,4 0,3 0,1 0,2

Решение: Дисперсию можно вычислить, используя формулу D(X)=M(X²)–[M(X)]².

Найдем математическое ожидание: M(X)=–50,4+20,3+30,1+40,2=–0,3.

Напишем закон распределения X²:

X² 25 4 9 16

p 0,4 0,3 0,1 0,2

Найдем математическое ожидание: M(X²)=250,4+40,3+90,1+160,2=15,3.

Найдем искомую дисперсию: D(X)=M(X²)–[M(X)]²=15,3–(–0,3)²=15,21.

Найдем искомое стандартное отклонение (X)= = =3,9.

5. Найти дисперсию и стандартное отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

   1. X 4,3 5,1 10,6 б) X 131 140 160 180

p 0,2 0,3 0,5 p 0,05 0,1 0,25 0,6

6) Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события A в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события A в каждом испытании равна 0,2.

Решение: Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью p появления события в каждом испытании) равно: M(X)=np. Дисперсия равна: D(X)=np(1–p).

7) Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

8) Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы известно, что M(X)=1,2.

Решение: Воспользуемся формулой M(X)=np. По условию, M(X)=1,2; n=2. Следовательно, 1,2=2p. Отсюда p=0,6 и, значит, D(X)=np(1–p)=20,60,4=0,48.

9) Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы известно, что M(X)=0,9.

10) Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

5. Совместное распределение случайных величин.

Пусть заданы две дискретные случайные величины X и Y:

Значение	x1	x2	…	xm
Вероятность	p1	p2	…	pm

Значение	y1	y2	…	yn
Вероятность	q1	q2	…	qn

Событие A = {X = x_i, Y = y_j} состоит в том, что одновременно случайная величина X принимает значение x_i, а случайная величина Y – значение y_j. Назовем вероятности таких событий совместными вероятностями и обозначим их через p_ij. Например, p₁₂ – вероятность того, что случайная величина X приняла значение x₁, а случайная величина Y – значение y₂.

Набор точек (x_i, y_j) вместе с совместными вероятностями p_ij образуют совместное распределение случайных величин X и Y.

Теорема: Сумма всех совместных вероятностей равна единице.

Совместное распределение двух дискретных величин удобно задать с помощью таблицы из m строк и n столбцов:

Y X	y1	y2	…	yj	…	yn
x1	p11	p12	…	p1j	…	p1n	p1
x2	p21	p22	…	p2j	…	p2n	p2
…	…						…
xi	pi1	pi2	…	pij	…	pin	pi
…	…						…
xm	pm1	pm2	…	pmj	…	pmn	pm
	q1	q2	…	qj	…	qn

Как мы выяснили, в этой таблице сумма чисел по строкам равна вероятностям p_i, а сумма по столбцам равна вероятностям q_j, что и отражено в таблице. Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Зная совместное распределение дискретных случайных величин X и Y, можно восстановить законы распределения величин X и Y.

Обратное утверждение неверно. Можно привести пример, когда распределение обеих случайных величин известно, но не все совместные вероятности поддаются определению без дополнительной информации.

В таблице вероятности p_i и q_j записываются как бы «на полях». Поэтому распределения случайных величин X и Y называют маргинальными (margin – поле) по отношению к их совместному распределению.

Пример 1. Пусть в урне по одному белому и черному шару. Из урны 2 раза наугад вынимают один шар и возвращают обратно. Случайные величины X и Y – количество белых шаров вынутых соответственно в первый и второй раз. Данные случайные величины принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями 0,5:

xi	0	1	и	yj	0	1
pi	0,5	0,5		qj	0,5	0,5

Найдем их совместное распределение, т.е. вычисли вероятности p_ij. Всего возможны четыре равновероятных исхода, которые можно обозначить {б, ч}, {ч, б}, {ч, ч}, {б, б}. Ситуация {б, ч}, означающая, что в первый раз вынули белый шар, а второй – черный, соответствует событию A = {X = 1, Y = 0}. Аналогично разбираются и другие ситуации. Значит, p_ij = ¼. Таблица совместного распределения выглядит следующим образом: